DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 139 



que que les deux plans polaires correspondants parallèles sont chacun 

 perpendiculaire à cette ligne de terre; donc (d'après 188), ces deux sys- 

 tèmes de polaires représentent un paraboloïde hyperbolique, et, par 

 suite, les deux systèmes de plans polaires proposés se coupent sur ce 

 paraboloïde. 



253. — Théorème. — Tout htjperbotoïde à une nappe peut être considéré 

 comme le lieu géométrique des intersections d'une infinité de deux systèmes de 

 plans polaires proportionnels. Il en est de même du paraboloïde hyperboliqite. 



Démonstration. — Soient prises , sur l'hyperboloïde , trois génératrices 

 quelconques d'un même mode. Si l'on fait tourner deux plans respective- 

 ment autour de deux de ces génératrices prises pour axes, de manière 

 que ces plans rencontrent sans cesse la troisième génératrice en un même 

 point , il est visible que la droite d'intersection de ces plans rencontrera 

 constamment les trois génératrices et engendrera ainsi l'hyperboloïde 

 proposé. 



Or, il est facile de voir que les deux plans mobiles décrivent deux 

 systèmes de plans polaires proportionnels, car, si par la troisième géné- 

 ratrice on mène un plan quelconque qui rencontre les deux axes, ce plan 

 coupera les deux systèmes de plans proposés suivant deux systèmes de 

 polaires qui se coupent sur cette même génératrice et qui sont, par suite, 

 proportionnels; donc, (150, 1°), etc. Et puisque les trois génératrices 

 mentionnées plus haut sont tout à fait arbitraires , il en résulte que l'hy- 

 perboloïde est le lieu géométrique des intersections d'une infinité de 

 deux systèmes de plans polaires proportionnels. 



Corollaire I. — De ce théorème on déduit facilement la réciproque 

 suivante du théorème (251) : 



Si deux systèmes de plans polaires se coupent sur un liyperboloïde à une nappe , 

 ces deux systèmes sont proportionnels et leurs axes font toujours partie de cet hy- 

 perboldide. 



Corollaire II. — En coupant deux systèmes de plans polaires propor- 

 tionnels par un plan qui rencontre leurs axes, on obtient deux systèmes 

 de polaires proportionnels se coupant sur une section conique qui appar- 

 tient visiblement à l'hyperboloïde à une nappe sur lequel se coupent les 



