DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 441 



237. — Propositioji. — Étant donnés deux coins, de (jrandeur invariable, 

 si l'on fait tourner cliacun d'eux autour de son arête , de manière que l'intersection 

 d'une face de l'un avec une face de l'autre s'appuie constamment sur une droite 

 fixe de l'espace, celte intersection décrira un hyperboloïde à une nappe passant par 

 les deux arêtes, et les trois autres droites d'intersection des faces des deux coins 

 décriront, chacune sépai'ément, un hyperboloïde à une nappe passant par les deux 

 mêmes arêtes. (Proposé par M. Steiner. V. Géom., n° 17, p. 299.) 



Démonstration. — D'abord , les deux faces de chaque coin décrivent 

 deux systèmes de plans polaires proportionnels ayant même axe , par la 

 raison que les traces de ces faces sur un plan perpendiculaire à l'arête 

 de ce coin, décrivent deux systèmes de polaires proportionnels (170, 5°), 

 car l'angle de ces traces, mesurant l'ouverture constante du coin, ne va- 

 rie pas de grandeur dans le mouvement de ce dernier. D'un autre côté, les 

 deux faces dont l'intersection décrit, d'après l'énoncé, un hyperboloïde à 

 une nappe, décrivent aussi deux systèmes de plans polaires proportionnels 

 (2S3 corol. I). De ce qui précède, il est facile de conclure que les quatre 

 systèmes de plans polaires, décrits par les quatre faces des deux coins, 

 sont tous proportionnels entre eux et que deux quelconques de ces sys- 

 tèmes, qui n'ont pas même axe, doivent se couper sur un hyperboloïde à 

 une nappe. Donc, etc. 



258. — - Proposition. — Étant donnés deux systèmes de polaires proportion- 

 nels situés dans deux plans différents, si, par un point de l'espace, on mène des 

 droites dont chacune rencontre deux polaires correspondantes, toutes ces droites 

 appartiendront à un même cône du second degré, ayant pour sommet le point 

 donné. (V, Géom. de M. Steiner, II, p. 183.) 



Démonstration. — Le système de plans polaires que l'on mènera par le 

 point donné et par les polaires du premier système est proportionnel à 

 celui des plans polaires que l'on mènera par le point donné et par les 

 polaires du second système (2S0, 1°). Et comme les axes de ces deux 

 systèmes de plans polaires se rencontrent au point donné, il résulte de 

 (251) que deux plans polaires correspondants quelconques se coupent sur 

 un même cône du second degré ayant pour sommet le point donné. Or, 

 chaque droite d'intersection de deux plans polaires correspondants passe 



