DE LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 145 



sont, ainsi que ces dernières, tangentes à une même conique (IGi), le 

 théorème est démontré. 



261. — La réciproque du théorème précédent est facile à démontrer 

 et peut s'énoncer comme il suit : 



Théorème. — Deux plans tangents quelconques à un cône du second degré, 

 sont coupés par tous les autres plans tangents à cette surface, suivant deux systè- 

 mes de polaires proportionnels. 



Autrement. — Deux plans tangents quelconques à un cène du second degré 

 étant pris pour plans de projection , si un troisième plan se meut tangentiellement 

 au même cône, ses deux traces décriront deux systèmes de polaires proportion- 

 nels, ayant pour pôle commun le sommet du cône. 



262. — Proposition. — Si d'un point quelconque on mène des plans perpen- 

 diculaires à toutes les génératrices d'im hyperboloïde à une nappe, tous ces plans 

 seront tangents à un même cône du second degré. (M. Steiner, p. 234.) 



Démonstration. — Si l'on prend pour plans de projection deux plans 

 passant par le point donné et respectivement perpendiculaires à deux des 

 trois directrices de l'hyperboloïde , les projections des génératrices de 

 cette surface formeront deux systèmes de polaires proportionnels (170, 

 7°, 8") et les traces horizontales et verticales de tous les plans perpendi- 

 culaires à ces génératrices formeront deux autres systèmes de polaires 

 également proportionnels , comme ayant leurs polaires respectivement 

 perpendiculaires à celles des deux premiers systèmes (170, 4:°]; (car le 

 principe, si une droite est perpendiculaire à un plan, ses deux projections 

 orthogonales le sont respectivement aux traces du plan, est indépendant 

 de l'angle que font les deux plans de projection.) Donc (260) etc. 



Remarque. - — ■ Le même théorème existe pour un cône du second ordre , 

 et se démontre de la même manière. 



265. — Proposition. — Tous les plans menés par im même point de l'espace , 

 et dont chacun est parallèle à deux polaires correspondantes de deux systèmes de 

 polaires proportionnels, situés dans deux plans différetits, sont tangents à un même 

 cône du second degré ayant pour sommet le point donné. (Proposé par M. Steiner. 

 V. Géom., n° 27, p. 303.) 



Démonstration. — En prenant pour plans de projection deux plans 



