4 PROBLEME DES CREPUSCULES. 



il ne se contenta pas, comme on l'avait fait avant lui, de rechercher 

 l'époque du phénomène; il en détermina en outre la durée, par le calcul 

 diflérentiel aidé d'une construction ingénieuse. Sa solution, ainsi que 

 celle qui a été donnée par Mauduit, est fondée sur ce principe important 

 que, au jour du plus court crépuscule, les angles formés par le vertical 

 et le cercle horaire du soleil sont égaux au commencement et à la fin du 

 phénomène. 



D'Alembert reprit le problème , et le traita d'une manière toute spé- 

 ciale, et par des procédés purement analytiques, dans l'article Crépuscule 

 de Y Encyclopédie tnélliodique. Sa solution laisse à désirer plus de netteté 

 et de précision; mais elle oflre un caractère de généralité qui fait entre- 

 voir, pour la première fois, le sujet dans toute son étendue. L'auteur 

 parvient à une équation du 4°"= degré, qu'il ramène au second en suppri- 

 mant deux facteurs qui donneraient des racines imaginaires; puis il résout 

 cette équation du second degré, et rejette une de ses deux racines, en se 

 contentant de dire qu'elle ne peut pas s'appliquer à la question. Or, cette 

 seconde racine, dont l'interprétation, très-curieuse, n'a pas encore été 

 donnée, à notre connaissance, se rapporte à un problème présentant une 

 intime liaison piiysique avec celui du plus court crépuscule, et que nous 

 désignons, dans notre travail, sous le nom de problème du plus court 

 complément crépusculaire. 



11 est facile de se rendre compte a priori de l'existence et de la signilica- 

 tion de cette seconde racine. La solution analytique du problème du plus 

 court crépuscule revient en elîet à rechercher le minimum de l'arc de 

 parallèle compris entre le cercle crépusculaire et l'horizon d'un lieu donné : 

 or, si l'on prend, par exemple, le commencement de l'aurore pour origine 

 de cet arc, son extrémité pourra aboutir au soleil levant ou au soleil 

 couchant. Dans le premier cas, il mesurera le crépuscule proprement dit; 

 dans le second, il mesurera le crépuscule, plus le jour astronomique: 

 c'est à cette dernière quantité que nous avons donné le nom de complément 

 crépusculaire, et le minimum des deux arcs est englobé dans une seule et 

 même expression du second degré. 



Dans l'article que nous avons cité plus haut, d'Alembert dit quelques 



