PROBLEME DES CREPUSCULES. 7 



exemple, ne tombant pas au solstice d'hiver, on conçoit, que, sous cer- 

 taines latitudes, les variations du crépuscule peuvent l'emporter sur celles 

 du jour astronomique, et leur combinaison déterminer un jour physique 

 minimum, dont il y a lieu de rechercher l'époque et la grandeur. II en est 

 de même pour le complément crépusculaire minimum, qui n'arrivera pas 

 à la même époque que le jour physique minimum, parce que la première 

 de ces deux périodes ne comprend qu'un crépuscule, tandis que la seconde 

 en renferme deux. On voit que le sujet est beaucoup plus large qu'on ne 

 l'avait cru jusqu'ici : nous traitons, dans noire mémoire, ces diverses 

 questions par l'analyse trigonométrique, de manière à faire ressortir 

 l'étroite connexion qui existe entre elles; nous en donnons aussi une 

 solution géométrique, que nous croyons assez curieuse pour en indiquer 

 ici le résultat en quelques mots. 



Les minimum du crépuscule, du complément crépusculaire et du jour 

 physique, pour une latitude donnée, s'obtiennent par la considération de 

 trois cônes droits, ayant pour axe la verticale du lieu. Les deux premiers 

 passent par le cercle de l'horizon et le cercle crépusculaire, et ont leur 

 sommet, l'un entre les plans de ces deux cercles directeurs, l'autre, en 

 dehors. Le troisième est tangent à la sphère céleste suivant le cercle crépus- 

 culaire. Si, par les sommets de ces trois cônes, on mène trois plans paral- 

 lèles à l'équateur, ils couperont la sphère suivant les parallèles que décrit 

 le soleil aux époques respectives du plus court crépuscule, du plus court 

 complément crépusculaire et du plus court jour physique. 



A la première de ces époques, le parallèle du soleil fait des angles 

 égaux avec l'horizon et le cercle crépusculaire (propriété déjà connue); à la 

 seconde, il fait avec ces deux cercles des angles supplémentaires; à la troi- 

 sième, il coupe le cercle crépusculaire à angle droit. 



Lorsque l'un ou l'autre des trois plans dont il vient d'être question cesse 

 de couper la sphère, cette circonstance correspond au cas où le calcul 

 donne, pour le minimum cherché, une valeur imaginaire. 



