12 PROBLEME DES CREPUSCULES. 



d'où 



sin h 



cos p > ou = : 



'^ "^ 2 cos / 



Ainsi, jusqu'à cette limite de cos p, le second radical disparaîtra avant le 

 premier. D'ailleurs, tant que le second radical sera réel, la somme des 

 deux sera plus grande que la valeur du premier : il résulte de là que la 

 plus petite valeur réelle du dénominateur s'obtient en égalant le second 

 radical à zéro, et en substituant, dans le premier, la valeur de cos p qu'on 

 déduit de cette égalité. 



Posons donc 



1 — cos^ ( — cos^ p — sin- /j — 2sin /( cos l cos p ^o; 



il en résulte 



cos p ^ — sin /i cos l ± sin / cos /i , 

 d'où 



cos p = sin ( / — // ) p = X -i- h; 



cos p = — sin (l-i-h) p = 180° — a -i- A. 



Cette seconde valeur doit être rejetée, puisque, d'après la condition (2°), 

 on doit avoir p < 180 — l: faisons donc, sous le premier radical, p = l-{- li, 

 et les formules (9) ou (10) donneront, pour l'expression du plus long cré- 

 puscule réel , 



. / sin A 



(12). ....... iangi{6'-o)=\/ ^-— -• 



y sin(2x-t-ft) 



Cette quantité devient imaginaire pour 2>. + /« > 180°, d'où X >81''. En 

 effet, pour cette limite elle-même, on a p=Â -^/t^ 99°; le soleil alors 

 rase l'horizon à midi et le cercle crépusculaire à minuit; le crépuscule 

 dure donc juste douze heures, comme le montre la formule précédente, 

 qui devient dans ce cas , 



tang 5(0' — ô) = 00 . 



Sous cette même latitude, le soleil, pour des distances polaires supérieures 



