PROBLEME DES CREPUSCULES. 13 



à 99°, ne s'élève pas jusqu'à l'horizon; pour des distances polaires infé- 

 rieures, il ne s'abaisse pas jusqu'au cercle crépusculaire. 



Il est aisé de s'assurer que, pour les valeurs de p inférieures à 99°, 

 la relation p = ï-{- li satisfait à l'équation de condition 



sin A -+- 2 sin A cos p y o, 



sur laquelle est basé le raisonnement qui précède. En effet, remplaçons 

 dans le premier membre de cette inégalité À par p — h, il deviendra 



sin /j -t- 2 sin {p — h) cos p, 

 ou 



sin 2p cos h — cos 2/> sin h = sin (2p — li). 



Or, cette quantité sera positive aussi longtemps que l'on aura 2p — /i< 180°, 

 d'où p < 90° + ~h, p < 99°. — Les valeurs limites p = 99°, / = 81° don- 

 nent précisément 



sin /t -H 2 sin A cos p = sin 18° — 2 sin 9° cos 9° = o. 



La formule (12) peut être simplifiée, en remplaçant la tangente du 

 demi-angle crépusculaire par le cosinus de l'angle crépusculaire entier. On 

 a en effet 



1— lg-2 i (ô' — ô) _ sin (2a-i-/ï) — sin fe 



1 -♦- tg2 i («' — 8) sin (2A-1- /j) -t- sin ft ' 



d'où 



tff A 



(12') cos(9' — r 



tg(A+A) 



Cette expression deviendra imaginaire, ou donnera un cosinus plus grand 

 que l'unité, lorsque l'on aura tg (/ -f- h) < tgA, d'où >. > 90°— ~h, conclu- 

 sion conforme à la précédente. 



On reconnaît maintenant sans difficulté que, pour une latitude donnée 

 À, le maximum du crépuscule réel, (ô' — ô), calculé par la formule (12'), sera 

 toujours plus grand qu'un crépuscule imaginaire quelconque. Ce dernier, 

 en eflét, que je désignerai par û, n'est autre chose que le supplément du 



