PROBLÈME DES CRÉPUSCULES. 25 



formule qui donne un résultat imaginaire pour l > y. La combinant avec 

 (16"), on a 



(23) sin i («' — â) = sini(0'-t- e) tgr; 



c'est-à-dire que, pour une latitude donnée, le sinus de la moitié du plus 

 court crépuscule est égal au sinus de la moitié du plus court complément 

 crépusculaire, multiplié par la tangente de la moitié de l'abaissement cré- 

 pusculaire. 



Il est inutile d'avoir recours au signe de la différentielle seconde, pour 

 s'assurer que les expressions (23) et (24) correspondent à un minimum et 

 non à un maximum. En effet, le dénominateur de la formule (22) montre 

 que le maximum de tg| (0' +0) s'obtient en égalant entre eux les deux 

 radicaux du dénominateur, ou en posant 



sin h 



cos p' = , 



2cos l 



auquel cas on a 



tgi(0'-+-0) = oo. 



Les formules (23) , (23') ne sont réelles que pour des latitudes infé- 

 rieures à 9°. A cette limite, elles donnent 



tgi (0' + 0) =» , 



et le minimum du complément crépusculaire est égal à 12 heures. Au delà 

 de 9° de latitude, le plus court complément crépusculaire est de moins de 

 12 heures; tg| (0' + 0) devient positive; le premier radical, dans l'équa- 

 tion (22) , l'emporte sur le second , et surpasse celui-ci d'autant plus que 

 cos p' devient négativement plus grand. Le minimum du complément cré- 

 pusculaire arrive donc alors au solstice d'hiver. 



Quant au plus long complément crépusculaire, comme il surpasse 

 toujours 12 heures, il correspond à la valeur négative de tg| (0' + 0); et 

 il est d'autant plus grand que cette tangente est plus petite, ou que cos p'. 

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