30 PROBLÈME DES CREPUSCULES 



Le triangle rectangle mEZ permet de démontrer géométriquement la 

 formule (28') : il donne en effet 



tg mE = sin EZ Ig EZrn = — cos Mg Ç ; 



cotg Ç = — cosl cotg mE ^ tg i (©' h- ) cos /. 



Enfîn on déduit du triangle PBZ 



cos PB = cos ?' sin / = — coig >- cos / ; 



d'où (15) 



cos PB = cos;/; 

 (29) PB = PS'. 



Par suite 



PS'B = PBS'; 

 (29') PS'B = 180° — PBZ. 



Si , dans le triangle isoscèle PBS', on joint le sommet P au milieu de 

 la base par un arc de grand cercle, on le décomposera en deux triangles 

 rectangles égaux, qui donnent 



sin 7 = sin p' sin J BPS'; 

 d'oîl 



sin y 



(50) sini (0'-- 0) = ~-. 



sinp 



formule qui permet de calculer la longueur du crépuscule, pour le jour du 

 plus court complément crépusculaire. La combinant avec (16"), on a 



sin é (0' — 0) sin / 



[ou ) ; = — . 



sin ^ (a — S) sin/)' 



On peut de même calculer la longueur du complément crépusculaire, 

 pour le jour du plus court crépuscule. A cette époque, en effet, on a 

 ifig. 1), en vertu de la relation (21), 



cos ZPB = - cos ZPS ; 



