PROBLEME DES CREPUSCULES. 39 



» 2° Du plus court complément crépusculaire ; 



» 3° Du plus court jour physique. 



» Ces trois points sont les sommets de trois cônes, dont le premier 

 1 passe par le cercle de l'horizon et le cercle crépusculaire, ayant son 

 » sommet entre ces deux cercles directeurs. Le second passe par les mêmes 

 » cercles directeurs , mais a son sommet en dehors. Le troisième, enfin, est 

 » tangent à la sphère céleste suivant le cercle crépusculaire. » 



Démonstration. 



jrao Faisons passer par l'horizon HO [fig. 5), et par le cercle crépuscu- 

 laire CR, un double cône dont le sommet K soit situé entre ces deux 

 plans. Menons , par ce point K , un plan MN parallèle à l'équateur : je dis 

 que sa trace sur la sphère céleste sera le parallèle décrit par le soleil au 

 jour du plus court crépuscule. 



En effet, on a, par suite de la construction, 



DK = DO Ig i /i = DO tg r, 

 ou, en prenant pour unité le rayon de la sphère, 



DK = tg y. 



Mais si le point F est le centre du parallèle, on a, dans le triangle 

 rectangle DFK, 



DF = DK cos FDK = tg y cos l. 



Or, DF n'est autre chose que le sinus de la déclinaison australe du paral- 

 lèle, ou le cosinus (négatif) de sa distance polaire boréale p. Donc enfin 



(I4-) cos p = — tg y cos/. 



La déclinaison du parallèle obtenu par la construction précédente est donc 

 bien celle du soleil, au jour du plus court crépuscule. On voit que le plan 

 mené par le sommet K, parallèlement à l'équateur, coupera l'horizon et le 

 cercle crépusculaire, aussi longtemps que l'on aura / > y. Cette condition 

 est celle que nous avons déjà trouvée pour la réalité du phénomène. 



