40 PROBLEME DES CREPUSCULES. 



â""" En conservant les deux mêmes cercles directeurs, imaginons main- 

 tenant que le sommet K' du cône leur soit extérieur {fig. G) : le plan M'N', 

 mené par ce sommet parallèlement à l'équaleur, coupera la sphère céleste 

 suivant le parallèle que décrit le soleil , au jour du plus court complément 

 crépusculaire. 



En effet, on a ici 



I)K' = I»0 tg DOK' = coig i h = colg r; 

 DF' = DK' cos F'DK' = colg ^ cos /; 



OU enfin, comme ci-dessus, 



(15) cosj/= — colg y cos /. 



Dans le cas actuel, l'intersection du plan M'N' avec la sphère sera réelle 

 tant que l'on aura / > 90° — ~li, ou '/. < l h. 



Des deux constructions géométriques qui viennent d'être indiquées 

 résultent les théorèmes énoncés aux §§ Vil et IX; savoir, qu'aux jours du 

 plus court crépuscule et du plus court complément crépusculaire, le paral- 

 lèle décrit par le soleil coupe l'horizon et le cercle crépusculaire sous des 

 angles égaux ou supplémentaires. 



En effet, tout plan mené par le sommet K' du cône droit (fig. 7) coupe 

 ce cône suivant une génératrice K'G'G, qui fait des angles égaux avec les 

 tangentes en G, G' aux deux cercles directeurs : ces tangentes sont donc 

 jxtrallèlc/i. En outre, le plan coupe la sphère suivant un cercle ayant pour 

 corde la portion de génératrice interceptée dans la sphère : les tangentes 

 à ce cercle, en G, G', font donc des angles égaux avec la génératrice, et, 

 par conséquent, avec les tangentes aux deux cercles directeurs. On remar- 

 quera que, dans le cas actuel, qui correspond au plus court complément 

 crépusculaire, les angles égaux sont situés enlre les deux cercles direc- 

 teurs, et d'un même côté de la génératrice. 



Même démonstration si le sommet du cône se trouvait enlre les deux 

 cercles directeurs [fig. 8) : seulement alors, les angles égaux, a, seraient 

 alternes par rapport aux deux cercles directeurs. 



