X REFLEXIONS PRÉLIMINAIRES. 



fonction et celui de la variable. Par là s'accuse et se révèle le lien de 

 dépendance qui subsiste à l'origine de ces accroissements. Faut-il dire 

 maintenant quel est ce lien et en préciser la nature? Il n'en est pas besoin. 

 Ne voit-on pas, en effet, qu'il est complètement déterminé par cela seul 

 que, dans le cas d'une invariabilité absolue, il établit et maintient entre les 

 accroissements une raison de proportionnalité constante? Telle est sa dé- 

 termination générale , absolue. Quant aux déterminations particulières 

 qu'il comporte, elles sont en nombre infini, et chacune d'elles a pour type 

 sensible, dans chaque fonction linéaire, la valeur numérique du rapport 

 existant entre les accroissements. 



Passons des fonctions linéaires à une fonction quelconque continue et 

 non linéaire. Dans ce cas, l'accroissement de la fonction n'est plus pro- 

 portionnel à celui de la variable. Néanmoins, le même lien de dépendance 

 mutuelle et réciproque existe à l'origine commune de ces accroissements. 

 Ce qui change, c'est qu'au lieu de persister dans un type unique, toujours 

 invariable, ce lien passe incessamment d'un type à un autre, chacune de 

 ses déterminations particulières dépendant de l'origine choisie pour les 

 accroissements et variant continûment avec cette origine. 



De là vient que le rapport des accroissements est incessamment variable ; 

 de là vient aussi que la limite de ce rapport exprime le type particulier 

 que le lien de dépendance, existant entre les accroissements et à leur 

 origine commune, affecte à cette même origine. 



Considérons ce type dans une quelconque de ses déterminations parti- 

 culières , et , pour le caractériser par les effets qui lui sont propres , imaginons 

 qu'il persiste dans cette détermination devenue permanente. A celle lujpollièse, 

 évidemment licite, correspondent des accroissements particuliers, essen- 

 tiellemenl distincts des accroissements effectifs. Ce sont ces accroissements 

 particuliers qui constituent les accroissements différentiels proprement 

 dits. Ils se distinguent des accroissements effectifs en ce que leur rapport 

 est constant, comme dans le cas des fonctions linéaires. Quant à ce rapport 

 lui-même, il a pour valeur numérique celle de la limite désignée ci-dessus. 



La méthode infinitésimale confond les accroissements effectifs, supposés 

 très-pelils, avec les accroissements différentiels. 



