^^ NOTIONS FONDAMENTALES 



facilités désirables. Son seul défaut est d'exiger quelques efforts pour être 

 bien comprise au début. C'est là sans doute un inconvénient, mais il s'at- 

 ténue de lui-même, à mesure que la faculté d'abstraire se développe. Pour 

 être en droit d'arguer d'un inconvénient aussi minime, contre une notion 

 d'ailleurs inattaquable, il faudrait s'abstenir de tout emploi des inliniment 

 petits. Autrement il est absurde d'écarter une notion rationnelle sous pré- 

 texte d'un défaut de clarté, et d'admettre à sa place la plus obscure de 

 toutes les conceptions , une conception impossible. 



9. Quelques mots maintenant sur la déOnilion de la courbe. 



En disant de la courbe qu'elle n'a aucune partie droite; nous n'appre- 

 nons rien, sinon qu'elle n'est ni droite, ni composée de parties droites. 

 C'est la définition vulgaire, qui procède par voie de négation, et demeure 

 stérile faute d'aucun rapport avec la nature intime de la courbe. 



En ajoutant que la courbe est une ligne où, d'un point quelconque à 

 un autre point aussi rapproché qu'on veut du premier, la direction change 

 incessamment, nous allons plus loin, et cela peut suffire. 



Supposons d'abord que l'on soit au début de la géométrie élémentaire, 

 et qu'on ne veuille point encore faire intervenir l'idée abstraite de direc- 

 tion. On se contentera de montrer comment la direction change inces- 

 samment, pour toute corde aboutissant par une extrémité à un point 

 quelconque, choisi comme on voudra; par l'autre extrémité, à un second 

 point qui se déplace continûment et se rapproche indéfiniment du pre- 

 mier. 



Supposons ensuite que le moment soit venu de donner aux définitions 

 de la droite et de la courbe toute leur extension, on aura recours à l'idée 

 abstraite de direction, tenue jusque-là en réserve. On dira comment la 

 direction subsiste tout entière à l'origine et, par conséquent, en chaque 

 point de tout tracé; comment, s'il s'agit de la droite, la direction affecte 

 partout la même détermination, et se manifeste en revêtant pour forme 

 le type sensible de cette détermination unique et permanente; comment, 

 au contraire, s'il s'agit de la courbe, la direction change incessamment 

 d'un point à un autre, et passe ainsi par une suite de déterminations dont 

 aucune ne persiste sur la moindre étendue, dont aucune, par conséquent, 



