SUR PLUSIEURS POJINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 23 



elle commence par croître ou par décroître, et elle ne cesse pas de croître 

 toujours ou de toujours décroître pendant un certain temps. Supposons 

 l'intervalle M égal ou inférieur au temps pendant lequel la vitesse reste 

 toujours croissante ou toujours décroissante. Soit, d'ailleurs, hv le chan- 

 gement subi par la vitesse durant cet intervalle. Si la vitesse demeurait con- 

 stante pendant l'intervalle M, selon qu'elle serait égale kv onhv^ hv, 

 l'espace décrit aurait pour expression vM ou {v -\- \v) At. En réalité, l'es- 

 pace Ae est décrit avec une vitesse variable, toujours croissante ou tou- 

 jours décroissante entre les valeurs extrêmes t; et i;+ Av. Cet espace reste 

 donc nécessairement compris entre vAt et (v-\-Av) At. On a, en consé- 

 quence , 



u étant une fraction. 

 De là résulte 



Ae = VAt + fi^v.M. 



Ae 



= « M- fi^v. 



At 



or Av converge vers zéro en même temps que chacune des différences 

 Ae, Af.v est donc la limite vers laquelle tend le rapport — à mesure que 

 l'intervalle Al devient de plus en plus petit. C'est ce qu'on exprime en 



écrivant 



,. Ae 

 V = lim 



At 



Après avoir démontré cette formule, disons sa raison d'être. Lorsqu'on 

 resserre de plus en plus l'intervalle At, l'on ne change point, dans le rap- 

 port —, ce qui provient de la vitesse v, prise avec sa grandeur première, 

 et supposée constante : on ne fait qu'amoindrir indéfiniment la partie de 

 ce rapport qui dépend des modifications continues subies par la vitesse. 

 Or, par cela seul que cette partie du rapport ^^ se trouve assujettie à con- 

 verger vers zéro, il faut qu'à la limite elle s'évanouisse d'elle-même. On a 

 donc nécessairement 



de ,. Ae 



f = — = hm 



al At 



