SUR PLUSIEURS POIiNTS DE GÉOMÉTRIE, etc 27 



Démonstralion du postulalum d'Eudide. 



20. Nous nous bornerons à reproduire ici les points principaux d'une 

 démonstration déjà publiée dans les Bulletins de l'Académie * avec tous les 

 développements nécessaires pour une solution complète et rigoureuse. 



On sait que le poslulalum d'Euclide peut être suppléé par l'une ou l'autre 

 des propositions suivantes : 



1° Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une parallèle à 

 cette droite; 



2° Deux droites perpendiculaires à une même troisième et situées dans le 

 même plan sont équidistantes ; 



3° Lorsqu'une droite passant par un point fixe tourne autour de ce point , de 

 manière à décrire un angle, elle tourne en même temps du même angle par rap- 

 port à toute droite située dans son plan. 



Ce que nous allons démontrer, c'est l'équidistance de deux droites 

 perpendiculaires à une même troisième et situées dans le même plan. 



1" PROPOSITION. 



Lorsque deux droites situées dans le même plan otit une perpendictdaire com- 

 mune , aucune perpendiculaire, abaissée de l'une des droites sur l'autre, ne peut 

 être moindre que la perpendiculaire commune à ces deux droites. 



Cette proposition résulte directement et immédiatement de ce que la 

 droite est le plus court chemin d'un point à un autre 2. 



' Voir les Bulletins de l'Académie royale de Belgique, année 1856, n"" 10 et 11. 

 Voir, au besoin, pour la démonstration, les numéros déjà cités des Bulletins de l'Académie 

 royale de Belgique. 



On sait la liaison intime existant entre la propriété qu'a la droite d'être le plus court chemin 

 d'un point à un autre, et cette proposition : La somme des angles d'tm triangle rectiligne ne peut 

 dépasser deux droits. La difficulté consiste à démontrer que cette somme ne peut être inférieure à 

 deux droits. De même, ici , rien n'est plus simple à établir que l'impossibilité d'un rapprochement 

 entre deux droites perpendiculaires à une même troisième. Ce qui est difficile, c'est de prouver 

 que l'écartement de ces droites ne peut jamais excéder la perpendiculaire commune. 



