28 NOTIONS FONDAMENTALES 



2""= PROPOSITION. 



Lorsque deux droites, situées dam le même plan, sont perpendictdaires à une 

 même troisième, elles sont éqiiidislantes , et toute transversale perpendiculaire à 

 l'une des deux droites est en même temps perpendicidaire à l'autre. 



Soient LS et AB deux droites perpen- 

 diculaires à une même troisième AL. 



Nous savons déjà qu'aucune des per- 

 pendiculaires abaissées de LS sur AB 

 ne peut être moindre que LA. Supposons 

 que, parmi ces perpendiculaires, il y en 

 ait une CD égale à LA; en ce cas, l'on démontre aisément que les droites 

 LS, AB sont partout équidistantes, et que toute droite perpendiculaire 

 à BA est en même temps perpendiculaire à LS. 



Il ne reste donc à examiner que l'hypothèse où toute perpendiculaire 

 CD abaissée de LS sur AB l'emporte en grandeur sur la perpendiculaire 

 commune AL. 



Dans cette hypothèse, on établit successivement et sans aucune diffi- 

 culté les propositions suivantes : 



Le lieu géométrique des points situés au-dessus de la droite AB, à la 

 distance AL, est une courbe LM passant par le point L et située tout 

 entière au-dessous de la droite LS. 



La courbe LM admet deux modes de génération essentiellement dis- 

 tincts. 



Elle est d'abord et évidemment la trace du point L, lorsque la droite 

 AB glisse sur elle-même et entraîne avec elle la perpendiculaire AL. 



Elle est ensuite la trace de ce même point, lorsqu'on le suppose en- 

 traîné dans le double mouvement, d'où résulte en général la description 

 de toute ligne courbe *. 



' Voir les Bulletins de l'Académie royale de Belgique (an. 1856, n°' 10 et H), pour la démon- 

 stration complète et rigoureuse efi'ectuée directement sur la courbe hypothétique LM. 



