32 NOTIONS FONDAMENTALES 



Soient CAB, C'A'B', deux positions successives de la droite directrice; 

 AA' l'arc décrit parle point générateur A, dans le passage de la première 

 position à la seconde; M le milieu de cet arc; NMN' la position de la di- 

 rectrice correspondante au point M. 



Si l'on revenait de la seconde position à la première, par des mouve- 

 ments identiques à ceux qui ont eu lieu d'abord, mais dirigés en sens 

 inverse, il est évident que l'arc A'MA ne différerait en rien de l'arc AMA', 

 et que le prolongement A'C de la droite B'A' serait situé, par rapport à 

 l'arc A'MA, de la même façon que la droite AB l'est par rapport à l'arc 

 AMA'. 



11 suit de là que les deux figures lAMA'I et lA'MAl sont superposables, 

 et, conséqucmment , que les droites AO, A'O perpendiculaires l'une à 

 BA, l'autre à B'A', se coupent en un point O, équidistant des points A et A'. 

 11 s'ensuit également que la droite OM est perpendiculaire à la directrice 

 NMN'. Or, en vertu de la proposition précédente, on a, d'une part 



OM = AO, 



et, d'autre part, 



OM = O.V. 



11 vient donc 



OA == OM = OA'. 



De là résulte, comme conséquence immédiate, le théorème suivant : 



Les perpendiculaires, élevées sur la directrice aux deux extrémités d'un arc 

 quelconque et en son milieu, concourent en un même point, équidistant du milieu 

 et des extrémités. 



En vertu de ce théorème, ce ne sont pas seulement les trois points 

 A, M, A' qui se trouvent sur la circonférence décrite du point O comme 

 centre avec le rayon OA, mais aussi les points P et Q , milieux des arcs 

 AM, MA', puis les milieux des arcs AP, PM, MQ, QA', et ainsi de suite 

 à l'infini. L'arc AA' se confond donc tout entier avec l'arc de cercle ayant 

 son centre en O, et OA pour rayon. 



Il est ainsi démontré que la trace d'un point qui se meut uniforme- 



