SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 37 



les deux droites mt, ms. De là résultent évidemment les conséquences 

 suivantes : 



1° Aucune droite, aucune portion de droite, ne peut, à partir du point 

 m, rester comprise entre la directrice et la courbe; 



2» Dans le voisinage du point m, la directrice est plus rapprochée de 

 l'arc mn que toute autre droite partant de ce même point; 



3° La directrice est la limite des sécantes menées par le point tu (*). 



Les rapports que nous venons de signaler entre la directrice mt et 

 l'arc mn constituent ce qu'on appelle le contact du premier ordre entre 

 une droite et une courbe. On exprime ce rapport d'une façon brève et 

 simple, en disant de la directrice mt qu'elle est tangente en m à l'arc mn. 



2i. S'agit-il maintenant de déterminer pour un point quelconque d'une 

 courbe la position correspondante de la directrice, c'est-à-dire la tangente 

 en ce point. Rien n'est plus simple. 



Soit m le point choisi sur la courbe pour y mener une tangente et 

 {x, ij) les coordonnées de ce point. Soit i un second point pris sur la 

 courbe dans le voisinage du point m, et ayant pour coordonnées 



(y -i- i^y, X -h àx). 



L'angle que la sécante mi fait avec l'axe des x étant désigné par «, l'on 

 a généralement 



tang X = 



Cela posé, concevons que le point i se rapproche indéfiniment du point 

 m. La sécante mi se rapprochera indéfiniment d'une certaine position qui 

 n'est autre que celle de la tangente cherchée. Si donc on désigne par g. 

 l'angle de cette tangente avec l'axe des «, on a nécessairement 



tang a = lim — 



AX 



(•) Désignons par i le point où une sécante parlant de m vient couper l'arc »i)i , et supposons 

 que le point i se rapproche indéfiniment du point m. La sécante mi tournera autour du point m , 

 et convergera ainsi vers une certaine position déterminée. La droite, qui fixe cette position , est 

 désignée , en général , sous le nom de limite des sécantes. 



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