SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 



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Courbure des courbes planes. — Cercle osculateur. 



26. Considérons une courbe quelconque, autre qu'une circonférence 

 de cercle. 



Soit amb un arc pris, comme on voudra, sur 

 cette courbe, et assez petit pour satisfaire aux 

 conditions exprimées n° 22'". 



Soit m un point de l'arc amb et pmt la tangente 

 en ce point. 



La vitesse angulaire de la directrice est , par 

 hypothèse, toujours croissante ou toujours dé- 

 croissante pendant la description de l'arc amb. Si donc elle est croissante 

 de m en b, elle est décroissante de m en a, et réciproquement. Pour fixer 

 les idées, nous supposerons qu'elle croît de m en i et que, par conséquent, 

 elle décroît de m en a. 



Considérons séparément les arcs mb, ma, et désignons par u la vitesse 

 affectée par la directrice dans sa rotation autour du point m. (Voir n" 22.) 

 Soit rms l'arc de cercle qui se substituerait à l'arc amb, si, à partir du 

 point m, en deçà comme au delà, la vitesse angulaire de la directrice de- 

 meurait constante et égale à u. 



Puisque la vitesse u croît de in en b, il est visible que l'arc mb doit 

 s'écarter plus que l'arc ms de la tangente mt. 



De même aussi la vitesse u décroissant de m en a, l'arc ma doit s'écarter 

 moins que l'arc mr de la tangente mt. 



Il suit de là que l'arc rms coupe en m l'arc amb. 



Cette circonstance est très-digne de remarque , vu que les arcs rms, amb, 

 ont en m une tangente commune pmt. 



Une autre circonstance non moins remarquable consiste en ce qu'aucun 

 arc de cercle ne peut, à partir du point m, rester compris entre les arcs 

 amb, rms. 



