40 NOTIONS FONDAMENTALES 



Cette proposition est évidente pour tout arc de cercle passant par le 

 point m et n'ayant pas son centre sur la normale mo. Il suffit donc de 

 l'établir, en considérant exclusivement les arcs de cercle qui touchent en 

 m l'arc atnb. 



Soit p' le rayon de l'un de ces arcs, supposé distinct, mais d'ailleurs 

 aussi rapproché qu'on veut de l'arc mis. 



Si, à partir du point m, la directrice tournait avec une vitesse con- 

 stante, et que cette vitesse fût égale à 



1 



u ^ —, 



p 



la ligne décrite serait précisément l'arc circulaire au rayon p' . (Voir 

 n" 22.) 



Cela posé, soit, en premier lieu, 



u' > «. 



11 est d'abord évident qu'au-dessous du point ??i, l'arc au rayon p s'é- 

 carte de la tangente m/j plus que l'arc mr. Il est donc séparé de l'arc ma 

 par l'arc mr et, par conséquent, plus éloigné de l'arc ma que l'arc mr. 



Voyons ensuite ce qui se passe au-dessus du point m. 



Si faible que soit la difféi'ence u' — u, il y a toujours, à partir du point m, 

 une portion de l'arc mb pour laquelle la vitesse angulaire de la directrice 

 reste inférieure à z«' et qui, par conséquent, s'écarte moins de l'arc /ns 

 que la partie correspondante de l'arc au rayon /s'. 



Soit, en second lieu , 



u' < «. 



Il est d'abord évident qu'au-dessus du point m, l'arc au rayon p' s'écarte 

 moins de la tangente mt que l'arc ms. U est donc séparé de l'arc mh par 

 l'arc nis, et, par conséquent, plus éloigné de l'arc mh que l'arc ms. 



Voyons ensuite ce qui se passe au-dessous du point m. 



Si faible que soit la différence u — m', il y a toujours, à partir du point 



