SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 41 



m , une portion de l'arc ma pour laquelle la vitesse angulaire de la direc- 

 trice reste supérieure à u' et qui , par conséquent, s'écarte moins de l'arc 

 mr que la portion correspondante de l'arc au rayon p'. 



On voit ainsi que, dans tous les cas, il n'est aucun arc de cercle qui 

 puisse, à partir du point m, rester compris entre les arcs amt, rms. De là 

 résultent les conséquences suivantes : 



1» L'ai'c de cercle rms est, parmi tous les arcs de cercle passant par le point m, 

 celui qui se rapproche le plus de l'arc amb , dans le voisinage du point m ; 



2° L'arc rms est la limite séparative des arcs de cercle qui touchent en m la 

 courbe amb , les uns intérieurement, les autres extérieurement. 



Les rapports que nous venons de signaler entre les arcs i-ms, amb con- 

 stituent ce qu'on appelle le contact du second ordre, ou l'osculation. Le cercle 

 auquel appartient l'arc rms est dit cercle osculateur. 



27. Nous avons vu que le cercle osculateur coupait en m l'arc amb. 

 C'est ce qui arrive, en général. Toutefois , le point m pourrait être tel, qu'à 

 partir de ce point, la vitesse angulaire de la directrice fût croissante en 

 deçà comme au delà, ou, qu'au contraire, elle fût décroissante. U est vi- 

 sible qu'alors , et pour ce point, le cercle osculateur cesserait de couper la 

 courbe. 



La courbure en un point d'une courbe dépend exclusivement du rap- 

 port qui s'établit pour ce point entre la vitesse angulaire de la directrice 

 et la vitesse du point générateur. Lorsque ce rapport demeure invariable , 

 l'uniformité de la cause se transporte dans l'effet, et la ligne décrite est 

 une circonférence de cercle. Le cercle devient ainsi le type sensible de la 

 courbure, comme la droite l'est de la direction. 



Lorsque la courbure cbange incessamment, et c'est le cas général pour 

 tout arc plan non circulaire, il n'en est pas moins vrai qu'elle affecte en 

 chaque point une détermination complète ; cette détermination ne peut se 

 manifester dans la ligne décrite , vu qu'elle n'est persistante sur aucune 

 étendue. Veut-on toutefois la rendre sensible? Rien de plus simple. 11 suffit 

 de la supposer permanente, à partir du point que l'on considère. Dès lors, 



