6 SUR LES FIGURES DÉQUILIBRE 



quanlité ne sérail donc pas conslanle dans tout le parcours de la courbe comme 

 le veut ré(iuation de Téquilibre. 



Imaginons maintenant que la figure liquide remplisse la condition que 

 nous venons d'établir, et considérons, à partir de l'axe, un arc de la ligne 



données le point où cette ligne rencontre l'axe, de manière que, pour x=o, on ait y^o ; nous 

 pourrons alors supjjoserla l'onction f(x) développée suivant une série de puissances ascendantes 

 et positives de x; et si nous voulons que la courbe rencontre l'axe sous un angle autre qu'un 

 angle droit, ce qui exige que, pour ir=o, le premier coefficient différentiel soit fini ou nul, il 

 faudra que l'exposant de x dans le premier terme de la série soit l'unité. Remarquons ici que, 

 n'ayant à considérer la courbe qu'au point où elle atteint l'axe et dans les jioints très-voisins, 

 nous pouvons toujours supposer x extrêmement petit, en sorte que, relativement à cette por- 

 tion de la courbe , notre série sera nécessairement convergente. Posons donc : 



y = ax + bx" ■+- ex" -+- [4] 



équation dans laquelle les exposants m,n,.... sont positifs et supérieurs à l'unité. On aura con- 

 séquemment : 



p = a + mtix'"~' -t- yiex""' -+■ 



g =z m {m — 1) 6x"'~^ -t- n {n — 1) ex" "^ -f- 



La première de ces expressions, quand on y fait x = o, se réduit à p=a, en sorte que la courbe 

 atteint l'axe sous un angle fini, mais autre qu'un droit, ou sous un angle nul, suivant qu'on 

 suppose la constante a finie ou égale à zéro. D'a])rès cela, si l'on veut qu'au point situé sur l'axe 

 le rayon de courbure soit nul, on voit, par la formule [1], qu'en ce même point, </ doit être 

 infini, et, en vertu de la seconde des expressions ci-dessus, cette condition sera satisfaite si le 

 premier au moins des exposants in,)i,... est plus petit que 2. 



Portons actuellement dans la formule [3] ces mêmes expressions de /) et de q et celle de y ; il 

 viendi'a : 



1 



^ 1 -f- ( fl -f- mbx"^~^ -I- ncjs"~'J 



— (m (m — 1) (ix'"-' -+- n (n — 1) cj;""* H-...) ( ax -Hftœ" -«-cœ" H-....) 



et l'on voit aisément que, pour x=o, ce rapport devient infini. Alors, en effet, puisque les 

 quantités m,n,... sont toutes supérieures à l'unité, d'une part le numérateur se réduit à 1 -*- a' 

 c'est-à-dire à une quantité finie, et, d'autre part, le dénominateur, dont le terme de plus petit 

 exposant, après la multiplication effectuée, est m(m — I) abx"-', s'annule tout entier. Remar- 

 quons, en passant, que ce résultat est indépendant de la condition »i<ii, en sorte qu'il est vrai 

 aussi bien pour un rayon de courbure fini ou infini au point situé sur l'axe, que pour un rayon 

 de courbure nul; ce qui devait être , d'ailleurs, d'après ce que nous avons vu plus haut. Mainte- 

 nant si, en ce même point, le ravon de courbure est nul, les deux quantités - et — prennent, 

 à la vérité , l'une et l'autre une valeur infinie; mais puisque leur rapport devient en même temps 

 infini , leur différence devient également infinie , ce qu'il fallait démontrer. 



