10 SUR LES FIGURES D'ÉQUILIBRE 



n'avons à examiner que l'hypothèse d'un rayon de courbure infini. Alors 

 comme, d'après la direction de la tangente, la normale est également infinie 

 au point que nous considérons, la (piantité ^ + ^ se réduirait à zéro au même 

 point; il faudrait donc, pour récpiilibre, que cette quantité fut nulle aussi 

 en tous les autres points de la ligne méridienne; or cela est impossible, 

 puisque, dès qu'on s'écarte du point de rebroussenient , le rayon de cour- 

 bure et la normale prennent, sur chacune des deux branches en particulier, 

 des valeurs finies et de même signe. 



Troisième cas {fiy. 4'"'). — Si le point de rebroussenient est de seconde 

 espèce , le rayon de courbure a des signes opposés sur les deux branches , 

 et conséquemment il doit être nul ou infini au point en question; mais, nous 

 l'avons déjà fait remarquer, nous n'avons pas à nous occuper de l'hypothèse 

 d'un rayon de courbure nul; reste donc celle d'un rayon de courbure infini. 

 Alors, la normale au même point étant de son côté infinie, l'équilibre exige, 

 comme plus haut , que la quantité ^, + ~ soit nulle pour tous les points de 

 la ligne méridienne. Ici la chose semble possible au premier abord, puisque, 

 aux environs du point de rebroussenient, le rayon de courbure et la nor- 

 male sont, sur chaque branche considérée isolément, de signes contraires; 

 mais nous verrons ci-après que cette possibilité n'est qu'apparente. 



Si le point de rebroussenient est de première espèce , le rayon de cour- 

 bure y est nécessairement nul ou infini , ainsi que nous l'avons déjà rappelé; 

 et puisque nous devons rejeter les rayons de courbure nuls , la quantité 

 ^-1-^ est encore égale à zéro au i)oint dont il s'agit, et doit l'être aussi en 

 tous les autres points, ce qui paraît possible comme précédemment, et pour 

 la même raison. 



Mais pour qu'en tous les points de la ligne méridienne la quantité ~ + ~ soit 

 nulle, il faut évidemment qu'en chacun de ces points le rayon de courbure 

 soit égal et opposé à la normale ; or il est bien connu des géomètres qu'une 

 seule courbe jouit de celle propriété, et que cette courbe est la chuinetle, 

 laquelle n'a aucun point de rebroussenient. 



§ i. — Les principes établis dans les deux paragraphes précédents ayant 

 écarté de la question de nos lignes méridiennes les complications qui seraient 

 venues l'embarrasser, nous pouvons entrer plus directement en matière. 



