46 SUR LES FIGURES D'EQUILIBRE 



loiilos les figures partielles possibles de celte nature : nous avons vu que tout 

 étranglement appartient soit à l'onduloïde , soit au caténoïde, soit à la partie 

 (lu nodoïde qui environne le sommet d'un nœud ; mais nous savons que la 

 (igiuc partielle bombée d'où nous sommes parti, n'est point une portion d'on- 

 duloïde, puisque sa convexité dépasse la sphère; il est visible, en second lieu , 

 qu'elle n'est point une portion de caténoïde, et enfin l'on voit, d'après ce qui 

 précède, que l'étranglement ci-dessus ne serait point une portion de nœud. 



Ainsi notre hypothèse originaire, celle d'un point d'inflexion dans la partie 

 de la courbe qui va en s'éloignant de l'axe de symétrie et en se rapprochant 

 de Taxe de révolution, conduit inévitablement à des impossibilités, et consé- 

 quemment la courbe garde le même sens de courbure jusqu'à ce qu'elle sorte 

 de ces conditions. 



31ais , pour en sortir, il faut évidemment (|u'elle cesse d'abord de s'éloigner 

 de l'axe de symétrie, ou, en d'autres termes, qu'elle présente un point où la 

 tangente soit parallèle à ce dernier axe. Et ce point n'est pas non plus un 

 point d'inflexion , car la normale et le rayon de courbure y seraient tous deux 

 infinis, ce qui annulerait la quantité ^, + ^ . Donc, au delà de ce mémo 

 point, la courbe redescend vers l'axe de symétrie, en conservant le sens de 

 sa courbure. De plus, le même sens se maintient encore, comme nous allons 

 le montrer, tant que la courbe continue à descendre; en efl'et, le liquide de 

 la figure partielle réalisée qui nous a servi de point de départ étant placé 

 dans la concavité de la courbe, on voit d'abord sans peine qu'en tous les 

 points de notre branche descendante, la normale est négative; or si cette 

 branche contenait un point d'inflexion, la quantité ^+ ^ se réduirait, en ce 

 point, au terme i, et , par suite, à cause du signe de la normale, serait éga- 

 lement négative, tandis que, sur l'arc méridien de la figure partielle réalisée, 

 le l'ayon de courbure et la normale étant tous deux positifs, la quantité 

 jjj -4- ^ est elle-même positive. 



Mais la branche dont il s'agit ne peut descendre indéfiniment en se rap- 

 prochant toujours de l'axe de révolution, ou, en d'autres termes, ne peut 

 tendre vers une asymptote parallèle à cet axe : car, au point situé à l'infini sur 

 l'asymptote, la quantité Jj + ^ se réduirait encore au terme ^, et, par consé- 

 quent, serait encore négative; il faut dès lors que notre branche passe par 



