PHYSICAS E NATURAES 161 



D'aqui se conclue, ser a grandeza da recta ah independente da 

 posição do ponto p sobre a circumferencia, e depender somente do 

 angulo que formam entre si os dois diâmetros considerados, o que 

 <íomprova a proposição ennunciada. 



Se levantarmos em òi meio de Oh, uma perpendicular ao diâme- 

 tro BD, temos evidentemente o ponto O' que é o meio do raio Ojp. 

 Unindo O' com h e com a, teremos, como é fácil de ver, 



0'h=0'a = -r. 

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Vemos, pois, que o ponto O' dista egualraente dos quatro pontos 

 O, a, 6, p, logo podemos ennunciar uma outra proposição dizendo que: 



(iSe d^um ponto dfuma circumferencia tirarmos perpendiculares so- 

 <(hre dois diâmetros que formam entre si um angulo determinado, por 

 «aquelle ponto, pelo centro da circumferencia, e pelos pés das perpendi- 

 aculares, podemos fazer passar uma outra circumferencia, cujo centro, 

 «é o meio do raio da primeira, tirado para o ponto considerado. ít 



Esta circumferencia cujo raio é metade do da primeira, é eviden- 

 temente tangente áquella no ponto dado. 



A expressão Z^rsenA mostra que no caso dos diâmetros serem 

 perpendiculares, a recta l é egual ao lado do hexágono regular inscri- 

 pto na circumferencia do raio r E este o caso em que a recta l tem 

 a grandeza máxima. 



Se os dois diâmetros se confundissem, então a recta reduzir-se- 

 hia um ponto. 



Se do mesmo ponto p tirássemos perpendiculares sobre dois ou- 

 tros diâmetros quaesquer, é evidente que a mesma circumferencia 

 Oaph passaria pelos pés d'aquellas perpendiculares, em vista do que 

 já dissemos. 



Da figura tiram-se algumas conclusões importantes sobre o qua- 

 drilátero inscripto, e podem-se demonstrar alguns theoremas d'essa 

 theoria servindo-nos do que acima temos dito. Apresentaremos alguns 

 exemplos. 



Com effeito, vê-se que 



ah » Op = r^ sen \ 

 € também 



Oa»hp = — r^ sen a cos (a -|- /) 



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O 6 • ap = r^ cos a sen (a -[- X). 



Sommando estas duas egualdades temos 



Oa*hp-\- Oh *ap = r'^ senl 

 e portanto 



Oa»hp-\- Oh * ap = ah» Op. 



