162 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Esta egualdade prova o primeiro theorema de Ptolomeu. 



Podemos também demonstrar a reciproca do terceiro theorema de 

 Ptolomeu (*), segundo o qual n'um quadrilátero inscripto a relação das 

 diagonaes é egual á relação da somma dos productos dos lados que 

 terminam nos seus extremos. 



Com eíFeito, temos 



Op r 



ab r sen >. 

 e também se vê que 



ap *l)jp = r'^ sen a sen (a -j- ^) 

 Oa»Oh = — r^ cos a cos (a -)- X) 



e sommando membro a membro 



aj) *hip-\- Qa • Oh^r^ [sen a sen (a -j- A) — cos a cos (a -|- X)]. 



Também 



Oa*ap = — r^ sen (a -j- X) cos (a -]- ).) 



e 



Oh •hp = r'^ sen a cos a 

 e por conseguinte 



Oa» ap-\- Op •hp^^r^ [sen a cos a — sen (a ■\- ^) cos {a -|- ?.)] - 



Logo simplificando vem 



ap«6p-|- Oa« Oh 1 



Ou' ap-\-Ob'bp senX 

 6, portanto 



aò Oa« ap-f- ^^ • ^í* 



que era o que pretendíamos demonstrar. 



A área do quadrilátero é dada cm funcção das diagonaes e dos 

 lados pela formula conhecida de Dostor. No nosso caso teremos a ex- 

 pressão seguinte em determinante 



16A^ = 4:T^X 



senl cos'^{íX-\-'X) — sen^X 



cos^(a-l->v) — sen^X senX 



Se imaginássemos que a circumferencia Oaph rolasse no interior 



(*) Eouché e de Comberoiisse — Traité de Géometrie, t. i, p. 148. 



