PHYSICAS E NATURAES 3 



Como mostram os integraes precedentes, ás permutações coco', co'&» 

 correspondem as permutações kk\ k' k dos módulos; logo temos: 



Çi (x, z, k!) = -— - \ cosec -^ {x — z — 2 n i w). 



Mudando n'esta equação íc e z em ix e iz, obtemos: 



Ç5, {i a?, i z, k') = — - — j- 2„ cosec — r-; (a? — z — 2 n co), 



que, comparada com (2), que define o,^{x,z,k)^ dá: 



(5) i(^^{ix,iz^k')^ Oj {x, z, k). 



Esta equação é o fundamento, e um caso particular, da que traduz o 

 theorema a que pretendemos chegar. 



Sendo Fi (z), F^iz) funcções uniformes, respectivamente da mesma 

 periodicidade que 9, e 9.2, mostrámos*, applicando a proposição de 

 Liouville, acerca dos resíduos das funcções periódicas, aos productos 

 F,9„ F,o,, que: 



-'' < .-. 

 (6) F,ix)=2,l^j-^d^^ 9,(a^,a,A;), 



(7) F,{x) = 2,2,j^^cf- 9.(^,(3,,^), 



onde <Xj representam os poios principaes de Fi (z), m o seu numero, 

 Pj seus graus respectivos de multiplicidade; e |3^, n e Çj as quantida- 

 des análogas relativas a F.2 (z). 



No caso particular das funcções terem o mesmo numero de poios 

 simples, aquellas formulas tornam-se em: 



*" O) 



(6') F, (x)^l,A o, (X, a,, k), 



(70 F,{x) = ÍB'o,(x,^,,k), 



onde as constantes A^\ B'-'^ são os resíduos de Fi e Fç^ relativos aos 

 infinitos principaes, 



* Logar citado. 



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