4 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



No caso dos infinitos a^ serem da forma 



(8) ^.=*7.; 



da correspondência das permutações indicada no quadro 



e da egualdade 



(10) A^'=±^"\ 



quando em -á^^' se eflfectuam as permutações correspondentes ás de &> 

 e w', as equações (6') e (7'), pondo o modulo em evidencia só quando 

 fôr differente de Ã, e attendendo á relação (5), dão 



(11) iF,{ix,iz,k') = ± F, (x) 



que traduz um theorema de transformação de i^i, sob as condições 

 prescriptas. 



Um dos casos particulares do theorema que vimos de estabelecer 

 é o theorema da transformação das funcções ellipticas, expresso pelas 

 relações : 



sn (i X, k') = , 



cno; 



(12) I cn(ix,k') = ^—, 



' V ' / cn X 



dn (i x, k') = , 



cn íc ' 



Com effeito, suppondo 



Fi (x) = sn £c, 



F,{x) = 



sn X 

 cníc' 



como a primeira tem o polo principal iw', com o residuo 1 1 â:; e a se- 

 gunda o polo principal w, com o residuo — II â;';* em relação a estas 



* Para achar facilmente estes resíduos, exprimam-se as funcções nas trans- 

 cendentes de Jacobi. 



