58 JORNAL DE SGIENGIAS MATHEMATICAS 



1. — La question proposée consiste à démontrer directement le sui- 

 vant: 



Tliéorème X 



Si les bissectrices des angles à la base (Tun triangle sont égales ce 

 triangle est isoscèle. 



Première démonstration 



Soit (fig. i) ABD le triangle, et Aa, Bb les bissectrices égales 

 des angles A, B a h base AB, et Dd h bissectrice du troisième angle 

 D; le point i étant Tintersection de ces trois droites, et le point O 

 étant le milieu du segment Di. 



Menons par les extrémités A et B des bissectrices A a et Bb les 

 droites Ac et Be', faisant respectivement avec ces bissectrices les an- 

 gles a Ac et bBc' égaux à la moiíié de Tangle D, et coupant D d aux 

 points c et c', vers le côté de la base AB. 



D'après cela, les triangles iAc, iDa seront semblables, ainsi que 

 les triangles iBc', iDb; et, si Ton mène les droites ca, c'b, il en será 

 de même des triangles cia> Ai D, et des triangles c'ib, BiD, d'oii il 

 resulte qtíe les angles Aac, Bbc' seront égaux aux angles aAc, bBc', 

 et par suite les triangles Aac, Bbc', dont les sommets c, c' se trouvent 

 sur D d, seront isoscèles, et puisque, par hypothèse, les bissectrices 

 Aa, Bb sont égales, il en será de même de ces triangles. 



Or, les triangles cia, ca D étant également semblables, ainsi que 

 les triangles c'ib, c'b D, on a 



2 



ca=cioCD (1) 



et 



¥f=c'i.c'D (2) 



ce qui montre que les segments ca, c'b représentent les grandeurs de 



