i22 " JORNAL DE SCIENGIAS MATHEMATICAS 



De mèrae la simililude des triangles joò^ et jAD, ainsi que des tri- 

 angiesjDB elja°õ, doone 



DA.DB=a'd,bò, (41). 



VIII. — On reconnait aisément, que les couples de droites a|3^, a°3; 

 &°P, bd,; A°^, A°õ; B^o, Bd^ (flg. 9) sont respectivement tangentes 

 aux couples de circonférences (2i), (cr); (2), {ai); (li), (ai); (2), (a); à 

 leurs points d'intersection a, b, A, B. 



IX. — La circonférence (s) circonscrite au triangle |3o^°í3 (fig. 9) a 

 son centre s sur la circonférence (S). 



En effet, le centre s étant Tintersection des perpendiculaires as 

 et ais, abaisseés de a et ai sur les segments i^o 6t «°(3, elles forment 

 un angle o- sai égal à Tangle (jjai supplément de Tangle j3oe°(3=(7 2ffi, 

 et, par snite, son soinmet s se trouvera sur Tare o- /ai ou sur la circon- 

 férence (S). 



Le point s será aussi le centre de la circonférence circonscrite au 

 quadrilátero AbBa. 



II en será de même des centres si, s^, ss, Si, 55 des circonférences 

 (si), (S2), (ss), (si), (ss), circonscrites aux triangles |3oa°<5, °(36^o, (3ofi°â 

 °j3i°â, ^0^°^» puisque leurs angles a, b, B, A, D sont respectivement 

 alli, a2iai, 180'—(j2i2u ISO^^—.cilli, 180'~la2i. 



Comme on le voit les centres de toutes les circonférences circon- 

 scrites aux triangles consideres, et ie point jdétermineront, en general, 

 un ondécagone inscrit dans la circonférence (S). 



Obs. — Bien d'autres propriétés se dérivent de la figure, desquelles 

 nous nous occuperons plus tard, pour ne rendre pas cette étude plus 

 étendue et fatigante. 



En considérant les cercles (ai) et (ai') (íig. 8), et leur point d'inter- 

 section e, nous arriverions à des resultais analogues. 



10. — Si les transversales Aa et Bb (fig. 8 et 9), au lieu de satis- 

 faire au probléme précédent, sont quelconques (íig. 10), les segments 

 Dl et Dj ne se trouveront pas, en general, en ligne droite, les tangentes 

 i^o et i°^ aux cercles (a) et (ai), formant Tangle ^i°^=ADB, et les 

 rayons de contact ai et aii deviendront obliques aux droites D A et D B; 

 mais dans cette nouvelle figure plus générale toutes les propriétés indi- 

 quées pour les figures 8 et 9 auront lieu depuis la remarque IV jusqu'à 

 IX: excepté pour le quadrilatère AaBb, qui laissera d'être inscriptible, 

 bien que les perpendiculaires élevées aux lailieux des côtés Aa et Bb 



