128 JORNAL DE SGIENGIAS MATHEMATICAS 



Première démonstration 



Les points c et c' (fig. 12) étant les centres des circonférences (c) 

 et (c'), qui coupent orthogonalement le cercle (0), décrit sur iD, comme 

 diamètre (n.° 3), el, la bissectrice A a étant, par hypothèse, plus grande 

 que la bissectrice Bb, il en resulte que le rayon cA de la première 

 circonférence será plus grand que le rayon c' B du second, c'est-à-dire 

 la première circonférence enveloppera la seconde. 



D'aprés cela, le point a^ étant le second point d'intersection du 

 côté DB du triangle donné avec la circonférence (c), on aura DB<iDao= 

 =DA, et donc Tangle A será plus petit que Tangle B. 



Corollaire. — Si les bissectrices Aa el Bb sont égaux (fig. 1) les 

 circonférences (c) et (c') le seront aussi, ou se confondront, passant par 

 les sommets du quadrilatère AbaB, et, par suite, les côtés DAqíDB, 

 ou leurs angles opposés B ei A seront égaux. 



Obs.— D'après cela le théorème I (n.° 1) pourra être directement 

 considere comme cas particulier de ce théorème, que nous venons de 

 démontrer, et non comme cas particulier du théorème reciproque de 

 celui-cí (n.° 14), comme le considere M. E. Lucas : ce que nous jugeons 

 ne pouvoir pas étre acceptable. 



Seconde démonstration 



Aux milieux s et s' des bissectrices AaeiBb (fig. 12) élevons les 

 perpendiculaires se et s'c', qui coupent la troisième D d aux points c 

 et c', déterminant les triangles isoscèles semblables Aca et Bdb (n.*' 12). 



II est visible que les points b^ et a^, ou ces perpendiculaires ren- 

 contrent respectivement les côtés A D et B D, déterminent deux trian- 

 gles isoscèles Ab^a et Ba^b de manière que si Ton mène par Gq, pa- 

 rallèlement à la bissectrice Aa, la droite OoúJ, dont le point d'inter- 

 section avec A D est aj, on aura évidemment aJb=bao=aoB. 



Or, par hypothèse, la bissectrice Aa étant plus grande que la bis- 

 sectrice Bb, il en resulte, comme on sait, que le point c' se trouve en- 

 tre les points í et c; donc le point «o se trouve entre les points D 

 et a; et le point a-o' entre les points D et A: ce qui donne Ab^a'oa. 



La droite bB' menée par b parallêllement au côté BD coupant la 



