PHYSICAS E NATURAES i31 



muD, on aura 



Aby>Ba et ia>fi6. 



15. — Présentons encore la demonstra tion ordinaire et celle de M. 

 Catalan. 



DèmoQstrãtion ordinaire 



En menant par le point b (fig. 12) la droite ba^ parallèle k AB, 

 et par le point d'intersection a^ de cette parallèle avec DB menant la 

 droite ao^'o parallèle à ia, on aura évidemment a'Qb=a^b = a^B. 



Si, maintenant, par le point b nous tirons la droite èfi' parallèle 

 au côté BD coupant la base iB au point B', on aura évidemment 

 bB'^aç,B et bA^bB', d'ou bÂ'^ba'o; donc, le point a'^ se trouvera 

 entre les points A et D, et le point a^ entre les points a et D, et, 

 par suite, Aa>a'oíío- 



Or, par hypothèse, Tangle DAB=Dbao éfant moindre que Fangle 

 DBA=Daob, on aura Tangle Aba^ plus grand que Tangle ba^B; 

 donc, la comparaison des triangie isoscèles ao^«'o et ba^B donnent 

 aoa'o'^Bb, et, par conséquent, à plus forte raison, on aura Aa'^Bb. 



DémoDstratiOQ de M. Catalan 



«Le point «(fig. 14, p. I) étant Tintersection des bissectrices, ilfaut 

 démontrer la relation 



Ai-^ia^Bi-\-iB (a) 



A cause de Ai^Bi cette inégalité (a) serait evidente si Ton avait 

 iaZ~ib. Supposons donc ia<Cib. 



Prenons, sur éi, iB'=iB; puis, sur ib, ia'==ia: le triangie 

 iB',a' est égal au triangie iBa; et d'après Thypothèse, le sommet à 

 tombe entre i et b-. 



Menons encore B'F parallèle h AD et B'G parallèle h ib. 



II resulte de ces constructions : 



iB'a' = 4rDBA = 4-B, 

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