136 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



dois arcos sejam pontos associados, isto é que as suas abcissas xi e Xi 

 satisfaçam á equação* 



i—(xh ^- x\) -i-e^xhxh=0:, (III). 



Quando pois esta condição se der sabemos pelo conhecido theo- 

 rema de Fagnano que a diferença dos arcos BMe NA é egual ao com- 

 primento da perpendicular p baixada do centro da ellipse sobre as nor- 

 maes em N ou M. 



Esta perpendicular pode-se exprimir em ftmcção de uma quanti- 

 dade que varia com xi e x^. Com eífeito, a equação (III) pode ser con- 

 siderada como o eliminante das equações 



(B) 



x^íxS 



1 



1 



em que se toma como incógnita — — . E considerando x^i e x^ como 



raizes de uma equação biquadrada, temos 



— x'^ + -—=^0 



que equivale a 



si 



1 — e^x^ 



-=ViX 



1 — x^ 



Logo' 



i/iz:f!^to+ /i/i:=íí?to=-+const 



1 — x\ 



Ora, as equações (B) para vi= oo, dão í(;i=0 e ír2 = l, o que dà 



1 Frenet — Recueil de exercices sur le calcul iu\ 

 ^ J. Bertrand — obra citada, vol. ii, pag. 388. 



i 



1 Frenet — Recueil de exercices sur le calcul infinitesimal, pag. 388. ■ 



