PHYSICAS E NATURAES 197 



dx p du q dv 



p — q u — p p — q u—q 



O, 



.p-q (" — P)" 



{u — q)'i 



X 



d'oú en intégrant 

 ou 



(5) ipv_^yc. 



(y-qx)'^ 



On obtient donc des courbes algébriques si p et g sont commen- 

 surables. 



Quels que soient p et q, la courbe (5) coupe normaleraent l'axe 

 Oy; la Térification de ce fait est immédiate. 

 Supposons que p et q soient entiers. 



Si p et 9 sont de même signe, la courbe appartient au genre pa- 

 rabolique, c'est-à-dire qu'elle a des branches infinies sans asymptotes. 

 Elle est tangente à Torigine à la droite y = qx. 



Si p et ^ sont de signes contraíres, la courbe appartient au genre 

 hyperbolique. Elle admet pour asymptotes les àroitGsy=pxeiy^qx. 



Des relations 



á ma 



P + Q=—^ pg= 4-1, 



n n 



on tire 



pq — 1 ã 



m = 



p+q p+q 



Le coefficient m étant indépendant de a, si le point P se déplace 

 sur Taxe Ox, la droite n pour la même courbe (S) se déplace parallè- 

 lement à elle-même. Or, d'après une des propriétés fondamentales des 

 courbes n (n.° 1), les points de rencontre de la droite n et de la courbe 

 (5) sont les pieds des normales meoées à cette courbe du point P. 

 Ainsi donc: 



Lorsque le point P décrit Vaxe O x, la droite qui joint les pieds des 



1 lei, comme dans tout le reste du méraoire, nous désignons par C une 

 constante arbitraire; nous conserverons par suite cette lettre dans les transfor- 

 mations successives d' une même formule, bien que si on suppose attribuée une 

 certaine valeur à cette constante dans une des formules, cette valeur puisse ne 

 pas être la même pour les constantes représentées par la même lettre dans les 

 formules subsequentes. 



