PHYSICAS E NATURAES 67 



noide e com o plano (P,P') obtem-se exactamente, como no caso, em 

 que a superfície auxiliar é a de um paraboloide. 



Quando a corda é parallela a LT, o paraboloide auxiliar degenera 

 em dois planos, um parallelo ao plano director do conoide e outro pa- 

 rallelo á corda, ou a LTe passando por a directriz rectilinea (ab, a'h'). 

 Este segundo plano não pôde aproveitar-se, como superfície auxiliar, 

 porque, ou não encontra o conoide, ou encontra tanto este, como o 

 plano (P,P') em uma só recta F. O outro plano, que é horisontal, de- 

 termina no conoide e no plano {P,P') rectas diferentes, porém, como 

 estas teem a mesma projecção no plano da cónica, só pôde por elle 

 determinar-se a projecção dum ponto da curva sobre o plano da có- 

 nica, depois de estar conhecida a projecção do mesmo ponto n'outro 

 plano. 



3. — Demonstra-se facilmente que, se forem parallelas entre si as 

 cordas e'd', fg', etc. da cónica, também serão parallelas entre si as cor- 

 das e'id'i, fig'i, etc. que lhes correspondem na projecção da linha com- 

 mum ao plano {P,P') e ao conoide, 



Sejam e'd' e fg' duas cordas parallelas entre si. Os paraboloides 

 correspondentes a estas cordas encontram o plano {Pj.P') em duas re- 

 ctas, que se projectam em m'n' e em p'q'. Aquellas rectas, posto que 

 existam no mesmo plano, não podem ter ponto algum commum a distan- 

 cia finita^ porque, se effecti vãmente ellas se encontrassem, pelo ponto 

 d'encontro passaria uma geratriz horisontal commum a ambos os parabo- 

 loides e essa geratriz, devendo encontrar e'd' e fg', deveria confun- 

 dir-se com P'. Porém, se aquellas rectas se encontrassem em um ponto 

 de F, n'esse ponto, que necessariamente seria distincto de {b,b'), os 

 dois paraboloides teriam o mesmo plano tangente, e por consequência 

 concordariam ao longo de P', visto que, em todo o caso, elles se to- 

 cam em (b,b'). E, como os dois paraboloides não podem concordar ao 

 longo de F, sem que cada um tenha o mesmo plano tangente nos pon- 

 tos a e ê da geratriz F, segue-se que as duas rectas em questão tam- 

 bém não podem cortar-se em ponto algum de P'. Logo estas rectas 

 são parallelas entre si e consequentemente também m'n' e p'q' serão 

 parallelas uma á outra. 



O parallelismo d'estas ultimas rectas pôde também demonstrar-se 

 por meio da theoria das linhas proporcionaes. 



Conclue-se do exposto que a curva d'ie'ig'ifi, isto é, a projecção 

 sobre o plano da directriz cónica da secção feita pelo plano (P^F) no 

 conoide, pôde obter-se tirando na cónica dada qualquer systema de 

 cordas parallelas e'd', fg', etc. conduzindo parallelas a Lr pelos pontos 



