68 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



em que elias cortam a cónica e rectas parallelas a uma direcção deter- 

 minada, e dependente da inclinação do plano secante, pelos pontos em 

 que as mesmas cordas encontram a projecção a'b' da directriz recti- 

 línea do conoide. 



4. — Da semelhança dos triângulos d'n'd'i, fq'f'i, etc. pôde con- 

 cluir-se, que a curva d'ie'ig'if'i, bem como a secção feita no conoide 

 pelo plano (P,P'), será uma cónica, sempre que o for a curva d'e'fg' 

 e que as três cónicas serão em todos os casos curvas do mesmo género. 



Pode, com tudo, demonstrar-se esta proposição, considerando a curva 

 d'e'g'f' e a recta a'b' como traços d'um cylindro e d'um plano sobre o 

 segundo plano de projecção, e suppondo que se pretende construir a 

 intersecção do plano com o cylindro, empregando planos parallelos en- 

 tre si e que tenham para traços as rectas e'd', g'f, etc. 



As secções feitas por estes planos auxiliares no cylindro podem 

 suppor-se projectadas sobre as rectas d'd'i, ffi, etc. e as secções fei- 

 tas pelos mesmos planos sobre o plano (P, P') podem suppor-se pro- 

 jectadas sobre as rectas m'n', q'p', etc. 



Admittindo estas hypotheses, que jamais deixam de ser possíveis, 

 conclue-se que e'id'ifig'i é a projecção sobre um plano da secção plana 

 d'um cylindro de segunda ordem, e por tanto que esta secção e a sua 

 projecção e'{d\f'ig'{ são cónicas do mesmo género que e'd'f'g'. 



S. -Empregando, para determinar um paraboloide auxiliar, a tan- 

 gente h'l', em vez diima corda, obtem-se um paraboloide hyperbolico, 

 que concorda com o conoide ao longo da geratriz, que passa pelo ponto 

 de contacto h' da tangente. A intersecção d'este paraboloide de con- 

 cordância com o plano (P, F) é uma recta, que se projecta sobre a tan- 

 gente l'h\ á cónica e'id'ifig'i. 



6. — Sendo h'l' e k'i' duas tangentes parallelas da cónica dada, se- 

 rão h'il' e k'it' tangentes parallelas de e'id'if'ig'i. Logo ao diâmetro 

 h'k' da primeira cónica corresponde o diâmetro h'ik'i da segunda. 



Este diâmetro h'ik'i è evidentemente a projecção da secção feita 

 pelo plano (P,P') no paraboloide auxiliar de que è directriz o diâme- 

 tro h'k'. 



Os diâmetros h'k' e h'ik'i, sendo prolongados, devem por tanto 

 encontrar-se n'um ponto u' da recta a'b'. 



7. — Em geral, o paraboloide determinado por qualquer diâmetro 

 h'k' da directriz cónica, pela directriz rectilínea (ah, a'b') e pelo plano 

 director do conoide encontra os diversos planos conduzidos pela recta 

 /"segundo diâmetros das cónicas situadas n'esses mesmos planos. A cada 

 um d'esses paraboloides daremos o nome de paraboloide dos diâmetros. 



