216 JORNAL DE SCIENCÍAS MATHEMATICAS 



IV. Discussão da formula suppondo constante a geratriz 

 e o raio d'uma das bases 



9. — Para esta discussão recorremos á formula 



F=— (ií2 + r2 + /ír)i /(L + r — ií)(L— r + ií) 



que se obtém, exprimindo, na formula geral do volume do tronco de 

 cone, o valor de h em funcção da geratriz e dos raios das duas bases; 

 e fazemos variar r, o que equivale a suppor que a geratriz, de com- 

 primento constante, se move n'um plano principal em torno do extremo 

 do raio R da base inferior do tronco. 



Como, sendo B differcnte de zero, não existe valor real de r ca- 

 paz de annullar o segundo factor do valor de F, segue-se que temos 

 apenas F=0 quando é r = R — L e r = /í4-L. É claro também 

 que só podemos fazer variar r entre fí — L e R-\-L; porque, para va- 

 lores não comprehendidos n'estes limite s, é F imaginário. 



Fazendo R^-\-r'^-\-Rr=F{r) e \^{L-\-r—R){L — r^R)=f{r) 

 tem-se: 



Y==^F{r)f{r) 



o 



e por tanto F é egual ao producto de três factores dos quaes o segundo 

 representa uma parábola e o terceiro uma ellipse. 

 Derivando fir) em relação a r é: 



df{r) R — r 



dr \/{iJ^r — R){L — r^R) 



d'onde se concluo que o máximo de f{r) tem logar quando é )'=i?, 

 por este valor tornar negativa a segunda derivada. 



Logo desde r=ií — L até r=i?, f{r) cresce; e como, suppondo 



R L, F(r) também cresce entre estes limites, por ser ?"=— — o 

 valor de r que torna minimo F(r), segue-se que n'estas hypotheses o 



