12 A. Paque. — Nouvelles démonstrations 



.. -, m-\-n — i „ „ m—ô , „ ,, n — î+3 

 ,. „ «2+n — ; „ „ »i— 2 , „ „ n — î + 2 

 .. «r »( + « — i ,, ., m — 1 , „ „ «— î+1 



Substituant dans (2) pour les premiers membres de ces égalités, 

 respectivement leurs seconds, et classant le résultat d'une manière 

 convenable, il viendra : 



„ m-\-n — i -^ „ „ m — î-\-k , ^ ^^ ,, n — k _^ 



Pi -~-, E NiMi_i — T-j-,— + y. N„!Mi_t^T-p . (ù) 



î+1 ^o 2 + 1 ^o i-\r\ ^ ' 



La quantité k passant par toutes les valeurs enliéres comprises 

 entre et 2, la relation (3) présente deux catégories de termes liés 

 entr'eux comme suit : 



ïii — u -4- 1 

 M^=Up.-y '-:^-, ou /iM^=M/._,(»«-/*+f). (4) 



N^=N/._i'^=^^, ou ^N^=N^_x(«-;a + l). (b) 

 H' 



On aura en faisant successivement /i^l,2, 3, ...A-,î — 1,i, 

 1+ 1 , dans les équations de génération : 



M,=OT , \ N,= M , 



2M, = iM,(m-l), j 2N.= N,(k— 1), 



SMj^flLCw— 2), f 5N.= N.(n — 2), 



4M. = M,(m- 5). l 4N. = i\:(„- 3). »^^,^ 



(t-l)M<_, =Me_»(w- /+2)1 (/-1)N,_, = N;_2(n-î-{-2) ( 



iMi = Mi_i(wï— i-)-l_),| ï]\.- = IV,_i(n — i-f I), 



(:+l)Mix, = M<w-.-). ] (.•-|_j)N,_n=N,(,,— ,). 



