de la. formule du binôme de Newton. 13 



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 Après avoir dégagé le facteur dans (3) et remplacé cha- 



que terme par son égal que fournissent les groupes d'égalités G 

 et G', on obtiendra : 



_ TO+n — i 1 ^«^'^■ ■ . iN.r »T I 



5;,"''fcMi-s+iN,l. (6) 



Des réductions évidentes étant effectuées on a : 



Pi y, j = Mi+i + N.M.-+ N, Mi_i + . . . + 



M,Ni_i+M.Ni+Nm. (7) 



Or, de même que le coefficient P; est donné par (1) , de même 

 le coefficient P,.i.i serait : 



Celte égalité et la précédente (7) donnent : 



P,, = P,'^^. (X) 



Cette loi de formation des coefficients du produit est la même 

 que celle qui régit la formation des coefficients dans f (m) et f(n). 



D'ailleurs, observant que P„ = 1 , et donnant à î touies les 

 valeurs entières comprises entre et i — 1, on obtiendra les dif- 

 férents coefficients du produit; il est aisé de voir que le coefficient 

 général serait : 



p {m-{-n)(m + n — \){m-\-n — Tj ... (wi-f»— i+l) 

 '^1.2.0... 



y\. Toutefois , il faut se garder d'énoncer d'une manière géné- 

 rale que la loi de formation du produit est la même que celle 

 des facteurs. 



En effet, il est à remarquer que le développement (1) n'a pré- 

 cisément cette forme que tant que i est plus petit ou tout au plus 

 égal à r', puisqu'il est toujours permis de supposer r' <Cr. 

 Les fonctions facteurs peuvent s'écrire comme suit : 

 fm=l+M,a:-|-M,a;' + ... + MaX=' + ...-|-M..a;''+...+M;x', 

 f w = 1 + N,x+ N.oc' + . . . + N«3c» + . . . + N'-'x'-' . 



