14 A. Paque. — Nouvelles démonstrations 



Mettant ainsi en évidence 1° le terme en x'' dans im, et 2° dans 

 les deux facteurs deux termes Max", Nax'^ en a;" , œ étant plus 

 petit que r'. 



Le développement du coefficient du terme en x'''^^ dans le pro- 

 duit n'a pas la même forme que celle assignée par (I); en effet , 

 soit 



r'-i-cc^s, d'où a=s — r'. 



Dans la recherche du coëiricient P. il est nécessaire de prendre 

 en considération : 



1° La somme des termes obtenus par multiplication entre les 

 quatre termes 



M^x'', M/a;'' et N^a;'', N,'a;'' ; 



2° Les termes en x' provenant des multiplications des termes 

 compris entre Mr-x'' et MrX'" avec ceux précédant N^x". 

 Il sera facile d'obtenir : 



r NaM,, + N.hM-._,+ ... + ^■-xMatl + Nr'Ma 1 



' l +M,.+iNa_i + M,.+2Na-!! -1- ... +M.N,.+a-,. J ■■■ 



que l'on peut encore écrire (o étant un nombre entier variant 

 entre et / — a, ou entre et r — r' — 1). 



Introduisant le facteur — —— — dans les deux membres de 



s-fl 



cette égalité, il vient : 



P. ^'+»— ^ ^J^ rv"-^x M,._e(»«+n-«-/) 

 s-lf^l s+1 L-^o 



Désignant pour un instant par A et B les sommes entre cro- 

 chets , on aura aisément : 



A = ^ N^j.g},ïr'-e{m-\-n— a— )■'-{- d~f)) , 







ou 



