20 A. Paque. — Aouvdk'S démoiiKt rations 



el le premier 



On passe donc, on le voit, d'un terme de celte somme au sui- 

 vant en le multipliant par 



m -\-n — / — k 



r'-\-k-{- 1 étant le plus grand facteur du dénominateur du terme 

 considéré. 



On a donc : 



Y, =f»i-f« = f(m-f »i) + K + L. 



VIII. Avant de rechercher ce que deviennent les expressions 

 K et L pour le cas de f«4 et in illimitées, il est indispensable de 

 considérer la fraction suivante : 



y(p_1)(,)_2)...(;;-«+1) 

 1«2>3 ... n 



où p est quelconque, et n, nombre entier variable, le dernier fac- 

 teur du dénominateur. 



Déterminons la limite de cette fraction, le dénominateur ayant 

 un nombre illimité de facteurs. 



On peut écrire : 



n (n— 1) ... -l.\ ' ^ ' 



N'ayant pas imposé de limiie à m , on peut toujours supposer que 

 n sera plus grand que la somme des deux autres termes de chnquc 

 facteur du numérateur de (B) ; pour éviter les facteurs négatifs 

 on changera le signe de chaque facteur, ayant soin toutefois de 

 multiplier la fraction par ( — 1)°, ce qui donne : 



(n—i—p){n — '2—p](n~Z~p) ...(l — p](-p) 



H {« — I) {h — -J) ... -2.1 ^ ^' ^ -' 



;) est quelconque : soit m la quantité entière qui la précède dans 



