de la formule du binôme de Newton. 21 



l'échelle des nombres , et r son complément à p, c'esl-à-dire soit : 

 p=m-\-r. 

 Substituant dans (C) nous aurons : 



(n — 1 — m— r](n — 2 — m — r) ... (1 — r) 



(« — 1) ... (TO+2) 



( — r)( — 1 — r) ... (1 — m — >)( — m ~r) 

 (w+I) m 77. 2 \ 



(-!)"• (D) 



Et sous celte forme il est clair que la limite / de la fraction 

 (A) est : 



^ ^ r(r4-1)(r+2) ... (r-{-7H—i](r+m) ^^, _ 



{m + l)m(m+l)... 2-1 (. ) ' 



En effet, si l'on divise par ri"^^ les deux termes de la frac- 

 lion fonction de n dans D (c'est-à-dire si l'on divise chaque facteur 

 du numérateur et du dénominateur par h) il deviendra évi- 

 dent qu'à la limite les différents facteurs se réduisent chacun à 

 l'unité. 



IX. Si fm et In, et leur produit Y , sont illimités, si donc 



r = 00 , r' = 00 



déterminons ce que deviennent K et L. 



Deux cas peuvent se présenter, savoir : 

 x<[l et x>l . 



1" Cas. 



Si x<^i toutes les puissances de x à partir de x' et x'' devien- 

 nent nulles ; donc les diverses sommes ^ des expressions K et L 



deviennent nulles (puisqu'alors les coefficients de leurs diverses 

 puissances de x sont constants , comme il vient d'être prouvé 



§VIII. D'autre part M,., N,., P,., sont constants, — ^Ç = 1 



? -(-1 



pour n infini. Donc K = 0. 



