22 A. Paque. — iS'oiivcllcs Jémonslratiuni 



On a aussi pour « = » 



m -\- n — 2r' 



2r'+l 



= 1, 



D'ailleurs Mr, Mr'-i-i , N,., P2,' sont alors des constantes, donc 

 aussi L=0, et Y, devient : 



2°" Cas. 



Si x'^\, à pnrtir de x'' toutes les puissances de x deviennent 

 infinies et les quantités coinplémontaires K et L sont elles-mêmes 

 infinies. De sorte que Ton a : 



f(m).f(H) = f (»« + ") + <»• 



De là on conclut : 



ni et n étant des quantités quelconques , le développement 

 du produit des séries f'(rn) et f (n) suivant leur loi commune 

 n'est possible que pour x<^l; il est illusoire pour-a'^X. 



Consacrons donc riiypothèse a;<^l pour laquelle on a : 



fm-fn = ((m-\-n). 



Soient » = >■+«, s = v-\-w , io = x-\-ij, et ainsi de suite; on 

 obtiendra la série de relations suivantes : 



f (m) • f »» = f (/« + h) , 



{m-{r-(v = f(Hi+ J'+i) , 



{m-(r-(v-(w = {(m-l-r-{-v-\-w) , 



UH-(r-(v-(x-fij = l(m-|-»'-!- ^ + ^'i"2/)- 



Ces égalités existant pour m,v,r, x, y ... quelconques, sont 

 encore vraies pour 



w^ r==t'=x = y = etc. =a. 



Donc en représenlant par n le nombre de fonctions, on a : 



[?(«)]"=• ?("o) (F) 



