Arithmétique et Algèbre. 29 



d'après des faits numériques évidents. — En effet , 1° Le nombre 

 de toutes les fractions possibles entre 1 et 2 existe nécessai- 

 rement , bien qu'absolument inconnu; mais ce nombre est si 

 grand qu'il surpasse le plus grand nombre imaginable : il est 

 infini. 



2° Tous les nombres possibles entre 1 et 2 croissent insensi- 

 blement depuis 1 jusqu'à 2; et il est certain que la différence d 

 entre deux de ces nombres , immédiatement consécutifs , est si petite 

 qu'elle échappe aux sens et à l'imagination. Or, bien qu'on ne 

 jiuisse ni calculer, ni réaliser, ni exprimer, ni jamais connaître 

 cette différence d , d'une petitesse excessive , on sait du moins 

 qu'elle existe nécessairement , et on lui donne un nom pour la dis- 

 tinguer dans le discours : on l'appelle infiniment petite. De là on 

 voit que rfXoo =1 et d = 5. Donc 5 est le symbole d'un nombre 

 infiniment petit , conformément à la définition. 



3° La première de toutes les fractions possibles, entre 1 et 2, 

 étant l4-(Z=l-{-i=— , on voit que les deux termes de cha- 

 cune de ces fractions sont infinis. De plus , l'une de ces fractions se 

 réduit à|: il faut donc que ses deux ternies aient un facteur in- 

 fini commun, contenu 5 fois et 2 fois dans le numérateur et le 

 dénominateur. Conclusion semblable pour les fractions , à termes 

 infinis , comprises entre 1 et 2 , se réduisant chacune à une frac- 

 lion finie, comme 44 sur 29 , par exemple. En général , un nombre 

 infini peut être le double, le triple, le quadruple, ... d'un autre ou 

 en être une fraction finie assignée, 



4» Comme on ne change pas la valeur du nombre infiniment 

 petit i en multipliant ses deux termes par 2,3,4,... et que le 

 double, le triple, le quadruple, ... d'un nombre infini est infini 

 lui-même et toujours désigné par 00 , on voit que |, |, I, etc. sont 

 les symboles d'autant de nombres infiniment petits. — On conçoit 

 bien, en effet, que si le dividende, ^»î et doiine, 4 par exemple, 

 reste constant ; plus le diviseur est grand , plus le quotient est 

 petit : si le diviseur est très-grand, le quotient est très-petit ; donc 

 si le diviseur est infiniment grand, le quotient est infiniment petit. 

 — On voit qu'un nombre infiniment petit peut être le double , le 

 triple, le quadruple , ... d'un autre ou en être une fraction finie 

 assignée. 



b° Soit X le quotient infiniment petit du nombre quelconque /?«? 

 a divisé par un nombre infini; on a donc xy,cc •= «. Ainsi le pn- 



