30 J.-iN. NoEi,. — Théorie infinitésimale appliquée. 



thiit d'un 7w»ibrc infiniment petit par un nombre infini est lOH- 

 jours toi nombre fini, mais indéterminé , aussi bien que ses deux 

 facteurs. 



On voit aussi , par 5" et i°, que le quotient de deux nombres in- 

 finiment grands on de deux nombres infiniment petits est toujimrs 

 lin nombre fini, mais indéterminé et inconnu , aussi bien que ses 

 deux ternies. 



Enfin, l'égalité xy.'x =a fait voir que si l'on divise le nombre 

 a , fini et arbitraire , par un nombre infiniment petit x , le quotient 

 est infini. 



Nombres inexpaimables. Si la racine carrée d'un nombre entier 

 n'est pas elle-même un nombre entier , elle est absolument inexpri- 

 mable en cliiffres et reste toujours inconnue. 



Considérons par exemple la racine carrée de 12. A cause de 

 12>9 et -<16 , on voit que |/12>-3 et <^4; la racine carrée de 

 12 est donc comprise entre 5 et 4, et n'est pas un nombre entier. 

 Si celte racine peut s'exprimer exactement par la fraction irréduc- 

 tible a sur c, dont les deux termes a et c soient des nombres en- 

 tiers /ïnis ou aient un nombre limité de chiffres chacun, on aura 

 successivement : 



^.^ a .„ H a a' ri' 

 |/12=-,12=-X- = — et — = 12c. 

 c c c c' c 



Le produit a- n'a jamais d'aulics fadeurs premiers que ceux de 

 ses propres facteurs; donc, puisque par hypothèse, c est premier 

 avec a, on voit que c est aussi premier avec le produit a', et ne 

 saurait le diviser, de telle sorte que le quotient soit le nombre en- 

 tier 12e. La dernière égalité ci-dessus étant donc impossible, il en 

 est de même de la première; c'est-à-dire que la racine carrée de 

 12 n'est pas une fraction dont les deux termes aient un nombre 

 limité de chiffres chacun ; il en ont donc chacun une infinité et sont 

 infinis tous les deux. 



D'ailleurs, ^/'^2 est nécessairement l'une des fractions, à termes 

 infinis, comprise entre 5 et 4; et puisque celle racine n'est pas 

 une fraction finie, on a rigoureusement |/12=:n sur/), n dp 

 désignant deux nombres entiers infinis , premiers entre eux. 



On voit donc que la racine carrée de 12 est absolument inexpri- 

 niable en chiffres et restera toujom's inconnue, liais on peut, comme 

 on sait, calculer cette racine aussi approchée qu'on le veut; ce qui 

 en prouve d'ailleurs l'exislencc. 



