32 J.-N. Noël. — Théorie infinitésimale appliquée. 



Remarque. La raison r de A à C csl dite nombre rationnel on 

 nombre irrationnel, suivant qu'on peut l'exprimer exactement ou 

 non. Toutes les racines carrées, cubiijues, quatrièmes, cin- 

 quièmes, etc., inexprimables en chiffres, sont donc des nombres 

 irratioiinels. 



La mesure commune existe toujours. Deux quantités continues A 

 et C , de même nature , ont toujours un commun, diviseur, assignable 

 ou inassignublc. Car ces deux quantités ont toujours un rapport ex- 

 primable ou inexprimable en chiffres. 



1° Si A^CXlé, il est clair qu'en divisant C en 20 parties égaies 

 à X , A contiendra 51 de ces parties x ; car on aura 



C=20x et A = 20a:X|ï = ôlx. 



Donc X est commun diviseur de A et C , cette mesure commune 

 étant assignable et finie. — Dans ce cas, les quantités A et C sont 

 dites commenstirables entre elles. 



1° Si A=Cl/ô, on sait que le rapport inexprimable ^/ô est 

 une fraction nsmp, dont les termes n et;) sont infinis. Or, si 

 l'on suppose C divisée en un nombre inOni p de parties égales à x 

 et par conséquent infiniment petites , il est clair qu'on aura 



n 

 C^»x et A = /)xX— =«x. 

 P 



Donc X est commun diviseur de A et C , cette mesure commune 

 étant infiniment petiie et inassignable par sa petitesse. De sorte 

 ([u'elle sera toujours inconnue. — Dans ce cas , on dit que les deux 

 quantités A et C sont incommensurables entre elles; et cela signifie 

 que C ne peut mesurer A , de telle sorte qu'il en résulte exactement 

 le nombre j/ô inexprimable. 



Transfouïiation du rappout. Le rapport de deux quantités conti- 

 nues reste absolument le même lorsqu'on divise ses deux termes par 

 une troisième quantité , de même nature que ces deux termes. — Soit 

 toujours A = Cr,- soient n et p les quotients de A et C, divisés ou 

 mesurés par la troisième quantité m, les nombres abstraits n el p 

 étant exprimables ou non. Il est clair qu'on a successivement 



A = mX», C = mXp; niH = mpr, n=pr et n:p = r. 



A:C=r, — = H et — =»; donc — : — =r = A:C. 

 m m m m 



On peut donc ainsi passer du rapport de deux quantiiés conti- 



