Arithmétique et Algèbre. -iô 



Objection et réponse. — On a opposé, à l'application précé- 

 dente, l'objection que voici : « La quantité x n'est pas un infini- 

 ment petit ....; c'est une quantité si évidemment finie, qu'après 

 \m certain temps, relativement peu long, la pièce d'or a notable- 

 ment diminué de poids. » 



En posant cette objection, on n'a pas fait attention que la dimi- 

 nution de poids n'est pas due seulement au frottement des doigts 

 sur la pièce d'or qu'ils déplacent; mais surtout aux chocs et aux 

 frottements de cette pièce contre d'autres , contre les parois de la 

 bourse, contre la table sur laquelle on la pose ou on la jette, etc. 

 Il est certain que la quantité a; est infiniment petite , comme invi- 

 sible et absolument inappréciable par sa petitesse. Dans ce cas , le 

 principe infinitésimal devient le principe de très-grande approxi- 

 mation et même de la plus grande de toutes les approximations pos- 

 sibles. De sorte qu'alors on doit encore regarder le principe infini- 

 tésimal comme rigoureusement exact, ainsi qu'il est établi plus 

 haut; car l'infiniment petit n'a pas plus d'influence, sur la valeur 

 finie cherchée, que s'il était rigoureusement nul. 



Somme de puissances 711 iémes. Désignons par 7»»" (qu'on énonce 

 S, n puissance ni) la somme des puissances m ièmes des n premiers 

 nombres entiers, m étant un nombre quelconque entier et positif, 

 et cherchons l'expression de cette somme quand n est infini. — 

 Soit d'abord posé 



x = n«4- a)i"'-i4-a'«"-2-|- ... 4-w~. ... (1) 



Le nombre des termes du second membre est évidemment w-f ' ; 

 et si l'on multiplie de part et d'autre par n — a, on trouvera, ré- 

 ductions faites , 



(«— (i)a;=n»'+i — a"'+'. ... (2) 



Comme H>n, il est clair que l'expression (1) de a; devient plus 

 grande ou plus petite , suivant qu'on y remplace a par n ou n par 

 a; c'est-à-dire qu'on a a;<(m-}-l)M'" et xy (m-i-l)a^ ; d'où ré- 

 sulte évidemment 



x = (»i-j-l)n» — <(m-\-i')(n" — a"). 

 Posant n — = 1 ou a = n — 1, la valeur qu'on vient de trou- 

 ver pour X est identique avec la valeur (2) et l'on a 



(m -J- l);i™— < (j)i 4- 1) [jr — (w — 1)""] = >i'»'i-i — (h — l)»-!-'. 



Prenant donc successivement n=!,2, 5, 4, ... , », puis ajou- 

 tant membre à membre les n égalités résultantes, il est clair que 



