ii J.-N. NoF.L. — Théorie infinilcsimale appliquée. 



les lermcs entre crochets et ceux des seconds membres se détrui- 

 sent deux à deux et qu'on transposant, on a 



(wi + 1 ) /n" = «"+' -{■ < (m + 1 ) 71". 



Si donc n est infini , le second ternie du second membre est nul 

 à l'égard du premier qui le contient une iuOiiité de fois : donc 



1 



enfin yn™= — ; — «'"+'.... (ô) 



•' «j + 1 ^ ^ 



Cette formule n'est exacte que pour n infini, et il en résulte 



alors y« = in%yM- = |>i',/'n' = jn* , etc. 



La formule infinitésimale (ô) reçoit «n grand nombre d'applica- 

 tions utiles d.ms la lliéoric du nicsuraçîe en géométrie analytique. 

 Cette formule est vraie encore lorsque n étnnt infini , l'exposant m 

 est un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel, positif ou né- 

 gatif. C'est ce qu'on démontre à l'aide de la série biiiomiale la plus 

 générale. Mais la formide (ô), où m est entier positif, suffit aux 

 applications élémentaires. 



Séries niméhiques. On appelle série toute suite de nombres ou 

 termes croissant ou décroissant d'après une certaine loi. Le temn 

 général d'une série est celui qui fournit tons les antres par les va- 

 leurs entières successives de la lettre n désignant le rang de ce 

 terme, lequel par suite est le n ième terme de la série; et si le 

 terme général n'a pas d'autre lettre que n, la série est dite numé- 

 rique. — Pour abréger, nous désignerons par ?„ et S» (qu'on 

 énonce t,n et S,«) le n ième terme de la série ntnnérique et la 

 somme cle ses n premiers termes. 



Cula posé, on ))eut aisénjcnt trouver quelle est la série numé- 

 rique dont on se donne la somme S„ des n premiers termes en fonc- 

 tion entière et rationnelle de n. Car si , de la somme des n premiers 

 ternies de la série numérique chercbée, on soustrait la somme des 

 n — 1 premiers, il reste nécessairement le n ième terme f„, réduc- 

 tions faites, et l'on aura toujours 



'n ^^ &n »?)i — 1 • 



Prenant successivement «=1,2,3, 4, ...,n dans cette iden- 

 tité, puis ajoutant membre à membre les n égalités résultantes et 

 observant que, dans le nouveau second membre, les termes se dé- 

 truisent deux à deux , à l'exception de S„ et de — S» , on trouvera 



'i + '. + '5 + '* + ■•■+'» oi> //» = ?»— S... 



