de la formule du binôme de Newton, II 



croissantes et entières de x , et dont les coefficients des différentes 

 puissances s'obtiennent les unes des autres par la relation 



/c— /i-fl 

 C^ = ^|l-^ • , 



oii IL est le nombre de termes qui précèdent celui ayant C/t pour 

 coefficient; où k est égal à m (ou C,) pour le 1" développement 

 et égal à n (ou C, ) pour le second. 



Les différents coefficients de ces développements sont donc des 

 fonctions de m et n respectivement (m et n étant quelconques). 



Représentons comme suit ces deux séries , limitées la première 

 à la puissance r'*™ de x , la seconde à la puissance r"*'°'° de la 

 même variable. 



i{m) = \ + M^x+MjX' \- •■•\- MiX'+ ... + M^x-- , 



f(n)=l +N,x+N,x'-f- ... +NiX' -f ... +N,.x'-'. 



Etudions le produit de ces développements, et à cet effet cher- 

 chons quel y sera le coefficient du terme en x'. 



Représentons par P,, Pj, P,, ... Pj, ... Pr+w, les divers coeffi- 

 cients successifs de ce produit. 



Il est aisé de voir que Pj a pour expression : 



Pi=Mi+Mi_iN. + Mi_.N, + ...+M,Ni_2+M,N,_i + N,_,. (1) 

 Introduisant dans les deux membres de cette égalité le facteur 



viendra 



i+1 



?«+«— i r m-\-n — i , ,, _, m+n — i , 

 P. ' , = Mi — ?--j h Mi_iN, T. ■ + ... 



Transformons comme suit chacun des termes du second 

 membre 



M.- ^, , =Mi— — + Mi •^— p = .Mi — — - + Ui N, -— ' 

 N,Mi_i|— V— r— =N.Mi_i — -7- -flV.Mi-i - 



i + 1 - ^^ ' ""-^ ,> 1 -^ " ' ""-' ,+ 1 ' 



