10 A. Paque. — Nouvelles démonslrations 



DEUXIÈME PARTIE. 



De ta formule du binôme de Neivton, dans le cas 

 d'un exposant quelconque. 



V. Toutes les démonstrations élémentaires de la formule dans 

 le cas d'un exposant quelconque se fondent sur la méthode des 

 coefficients à déterminer, méthode qui ne peut être rigoureusement 

 employée que lorsqu'on a, au préalable, vérifié si le développe- 

 ment peut être tel qu'on l'a supposé. 



Toutes les fois que cette vérification n'aura pu être faite à priori , 

 il sera prudent de ne pas supposer un tel développement possible ; 

 car , pour avoir négligé de faire cette vérification , des erreurs de 

 suppositions, relatives à la nature d'un développement , peuvent 

 rester inaperçues, la détermination des coëlBcients ne dénonçant 

 souvent pas ces erreurs. 



Cette vérification si nécessaire de la forme assignée d'abord à 

 im développement se fait : 



Soit par induction, et alors on a soin de considérer assez de 

 cas particuliers pour que la forme générale soit bien mise en 

 évidence ; 



Soit par une démonstration rigoureuse. 



Cela est très-important , car il se pourrait qu'une série parût 

 obéir à une certaine loi pour un certain nombre de valeurs parti- 

 culières de ses éléments, et que cette loi fût démentie par les 

 valeurs suivantes j c'est ainsi, qu'en arrêtant la valeur de e aux 9 

 premières décimales , on croirait que e est une fraction périodique 

 mixte ; et cependant le retour de quatre chiffres décimaux de e est 

 un fait purement accidentel , puisque l'on peut démontrer que e 

 ne peut s'exprimer au moyen d'une fraction périodique. 



La démonstration qui va être donnée de la formule du binôme, 

 ne reposant pas sur la méthode des coëflTicients à déterminer , 

 écarte un germe d'incertitude inhérent à cette méthode; elle indi- 

 que quand et comment le développement est impossible. 



Soient deux développements procédant suivant les puissances 



